Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодей- ствующих только друг с другом, т.е. ни с какими посторонними телами не взаимодействующих; такую систему называют зам г) Сделанная в примечании на с. 11 оговорка не мешает этому выводу, так как при т < 0 интеграл не мог бы иметь минимума ни для какого малого участка траектории. § 5 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 19 кнутой. Оказывается, что взаимодействие между материаль- ными точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействующих точек D.2) определенной (за- висящей от характера взаимодействия) функции координат г). Обозначив эту функцию через —С/, напишем '2,...) E.1) (га — радиус-вектор а-й точки). Это есть общий вид функции Лагранжа замкнутой системы. Сумму 2 а называют кинетической энергией, а функцию U — потенциаль- ной энергией системы; смысл этих названий выяснится в § 6. Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от рас- положения всех материальных точек в один и тот же момент времени, означает, что изменение положения одной из них мгно- венно отражается на всех остальных; можно сказать, что взаи- модействия «распространяются» мгновенно. Неизбежность та- кого характера взаимодействия в классической механике тесно связана с основными предпосылками последней — абсолютно- стью времени и принципом относительности Галилея. Если бы взаимодействие распространялось не мгновенно, т.е. с конечной скоростью, то эта скорость была бы различна в разных (движу- щихся друг относительно друга) системах отсчета, так как абсо- лютность времени автоматически означает применимость обыч- ного правила сложения скоростей ко всем явлениям. Но тогда законы движения взаимодействующих тел были бы различны в разных (инерциальных) системах отсчета, что противоречило бы принципу относительности. В § 3 мы говорили только об однородности времени. Вид функции Лагранжа E.1) показывает, что время не только од- нородно, но и изотропно, т.е. его свойства одинаковы по обоим направлениям. В самом деле, замена t на — t оставляет функцию Лагранжа, а следовательно, и уравнения движения неизменны- ми. Другими словами, если в системе возможно некоторое дви- жение, то всегда возможно и обратное движение, т.е. такое, при ) Это утверждение относится к излагаемой в настоящей книге класси- ческой — нерелятивистской — механике. 20 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. I котором система проходит те же состояния в обратном порядке. В этом смысле все движения, происходящие по законам класси- ческой механики, обратимы. Зная функцию Лагранжа, мы можем составить уравнения движения j яг яг d dL - dL dtdwa ~ dra' Подставив сюда E.1), получим dwa _ _3U Уравнения движения в этой форме называются уравнениями Ньютона и представляют собой основу механики системы вза- имодействующих частиц. Вектор F. - "g. E-4) стоящий в правой части уравнений E.3), называется силой, дей- ствующей на а-ю точку. Вместе с U она зависит от координат всех частиц, но не от их скоростей. Уравнения E.3) показывают поэтому, что и векторы ускорения частиц являются функциями только от координат. Потенциальная энергия есть величина, определяемая лишь с точностью до прибавления к ней произвольной постоянной; та- кое прибавление не изменило бы уравнений движения (частный случай указанной в конце § 2 неоднозначности функции Ла- гранжа). Наиболее естественный и обычно принятый способ вы- бора этой постоянной заключается в том, чтобы потенциальная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояний между частицами. Если для описания движения используются не декартовы ко- ординаты точек, а произвольные обобщенные координаты ^, то для получения лагранжевой функции надо произвести соответ- ствующее преобразование Ха = fa(qi, 92 к Подставляя эти выражения в функцию L = l получим искомую функцию Лагранжа, которая будет иметь вид L = 2 ^2^ik(q)qiqk - u(q), E.5) § 5 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 21 где Щк — функции только от координат. Кинетическая энергия в обобщенных координатах по-прежнему является квадратичной функцией скоростей, но может зависеть также и от координат. До сих пор мы говорили только о замкнутых системах. Рас- смотрим теперь незамкнутую систему Л, взаимодействующую с другой системой 5, совершающей заданное движение. В таком случае говорят, что система А движется в заданном внешнем по- ле (создаваемом системой В). Поскольку уравнения движения получаются из принципа наименьшего действия путем незави- симого варьирования каждой из координат (т.е. как бы считая остальные известными), мы можем для нахождения функции Лагранжа LA системы А воспользоваться лагранжевой функ- цией L всей системы А + 5, заменив в ней координаты qB за- данными функциями времени. Предполагая систему А + В замкнутой, будем иметь L = TA(qA, qA) + TB(qB, qB) - U(qA, qB), где первые два члена представляют собой кинетические энер- гии систем А и В, а третий член — их совместную потенциаль- ную энергию. Подставив вместо qB заданные функции времени и опустив член T(c[B(t),qB(t)), зависящий только от времени (и поэтому являющийся полной производной от некоторой другой функции времени), получим LA = TA(qA, qA) - U(qA, qB(t)). Таким образом, движение системы во внешнем поле описы- вается функцией Лагранжа обычного типа с тем лишь отличи- ем, что теперь потенциальная энергия может зависеть от вре- мени явно. Так, для движения одной частицы во внешнем поле общий вид функции Лагранжа L= T?--U(r,t), E.6) и уравнение движения mv = ~. E.7) Однородным называют поле, во всех точках которого на ча- стицу действует одна и та же сила F. Потенциальная энергия в таком поле, очевидно, равна U = -Fr. E.8) В заключение этого параграфа сделаем еще следующее за- мечание по поводу применения уравнений Лагранжа к различ- 22 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. I ным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с таки- ми механическими системами, в которых взаимодействие меж- ду телами (материальными точками) имеет, как говорят, харак- тер связей, т.е. ограничений, налагаемых на взаимное распо- ложение тел. Фактически такие связи осуществляются путем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнирами и т.п. Это об- стоятельство вносит в движение новый фактор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосновения, в резуль- тате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой ме- ханики (см. § 25). Однако во многих случаях трение в системе оказывается на- столько слабым, что его влиянием на движение можно полно- стью пренебречь. Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элементов» системы, то роль последних сведет- ся просто к уменьшению числа степеней свободы системы s (по сравнению с числом 3N). Для определения ее движения можно при этом снова пользоваться функцией Лагранжа вида E.5) с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фак- тическому числу степеней свободы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Функция Лагранжа системы материальных точек» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
