Одним из основных понятий механики является понятие ма- териальной точки 1). Под материальной точкой понимают тело, размерами которого при описании его движения можно прене- бречь. Разумеется, возможность такого пренебрежения зависит от конкретных условий той или иной задачи. Так, планеты мож- но считать материальными точками при изучении их движения вокруг Солнца, но, конечно, этого делать нельзя при рассмот- рении их суточного вращения. Положение материальной точки в пространстве определяет- ся ее радиус-вектором г, компоненты которого совпадают с ее декартовыми координатами х, у, z. Производная г по времени t - ^L называется скоростью, а вторая производная d2r/dt2 — ускоре- нием точки. Ниже, как это принято, мы будем часто обозначать дифференцирование по времени точкой над буквой: v = г. Для определения положения системы из N материальных точек в пространстве надо задать N радиус-векторов, т.е. SN координат. Вообще число независимых величин, задание которых необ- ходимо для однозначного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы] в данном случае это число равно 3N. Эти величины не обязательно должны быть декартовыми координатами точек, и в зависимости от условий задачи может оказаться более удобным выбор каких-либо дру- гих координат. Любые s величин gi, q^ • • • •> Qs •> вполне характеризующие по- ложение системы (с s степенями свободы), называют ее обоб- щенными координатами, а производные qi — ее обобщенными скоростями. г) Вместо термина «материальная точка» мы будем часто говорить о «частицах». 10 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГЛ. I Задание значений обобщенных координат еще не определяет, однако, «механического состояния» системы в данный момент времени в том смысле, что оно не позволяет предсказать поло- жение системы в последующие моменты времени. При заданных значениях координат система может обладать произвольными скоростями, а в зависимости от значения последних будет раз- личным и положение системы в следующий момент времени (т.е. через бесконечно малый временной интервал dt). Одновременное же задание всех координат и скоростей пол- ностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее ее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех ко- ординат q и скоростей q в некоторый момент времени однознач- но определяется также и значение ускорений q в этот момент г). Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения. По отноше- нию к функциям q(t) это — дифференциальные уравнения вто- рого порядка, интегрирование которых позволяет в принципе определить эти функции, т.е. траектории движения механиче- ской системы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Обобщенные координаты» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
