Елементи квантової теорії пружних хвиль у кристалі
Детальне вивчення коливань мікроскопічних об’єктів (атомів, іонів) у кристалічній решітці потребує застосування уявлень і методів квантової теорії. Але результати класичної теорії Борна-Кармана переважно виявились справедливими. Застосування квантових уявлень привело лише до двох нових результатів: можливості трактування пружних хвиль як квазічастинок і урахування нульових коливань. Відповідно до принципу корпускулярно-хвильового дуалізму - одного із фундаментальних принципів квантової теорії і взагалі сучасної фізики – будь-які коливання чи хвилі одночасно є частинками, а будь-які частинки – хвилями. Частинки (точніше квазічастинки), що відповідають пружним коливанням кристалічної решітки, назвали фононами. Їх імпульс (точніше квазіімпульс)
, де - квазіхвильовий вектор, а енергія . Приставка «квазі» пов’язана з тим, що і хвильовий вектор, і імпульс задані лише в першій зоні Бриллюена, і сам не є імпульсом ні з позицій ньютонівської, ні з позицій квантової механіки. Фонони є носіями енергії звукових хвиль (фононом також називається квант теплової енергії ). У таблиці 2.2 наведено основні відмінності між частинками і квазічастинками. Магнітний момент і спін фонона дорівнюють нулю. Частинки (чи квазічастинки) з нульовим спіном підпорядковуються статистиці Бозе-Ейнштейна і є бозонами [13]. Відповідно до цієї статистики середнє число частинок (чи квазічастинок), що знаходяться у рівновазі при температурі Т в стані , становить
,
Таблиця 2.2 - Характеритики частинок і квазічастинок
Ознака Виконання ознаки для частинки квазічастинки Виконується закон збереження енергії Так Так Виконується закон збереження імпульсу Так Не завжди Існують у кристалі Так Так Існують у вакуумі Так Ні Утворюють атоми, молекули і речовину Так Ні
де - номер гілки (однієї із 3p гілок) пружних хвиль; - хімічний потенціал, який можна знайти із умови, що повне число частинок дорівнює заданій величині. Якщо це число, як у випадку фононів, не є фіксованим, то [14], і тоді середнє число фононів у даному стані в рівновазі
. (2.6)
На рис. 2.5 наведена залежність повного числа фононів від частоти, розрахована за останніми формулами для однієї акустичної гілки. Максимум виникає тому, що число станів збільшується з частотою, а середнє число (див. (2.6)) частинок в кожному стані зменшується.
Рисунок 2.5 - Розподіл фононів однієї акустичної гілки за частотами
Поряд з рівноважними фононами, які ми розглядали, в твердому тілі можуть існувати нерівноважні фонони, збуджені зовнішнім механічним впливом чи електромагнітними полями (рис. 2.5). І хоча повне число нерівноважних фононів, як правило, мале, амплітуди відповідних їм хвиль можуть бути великими. Нормальні моди (хвилі або коливання з певною частотою) кристалічної решітки можна вважати гармонічними осциляторами. Відповідно до квантової механіки [13] енергія гармонічного осцилятора ,
де n – число фононів з хвильовим вектором на певній гілці. При Т=0К фононів немає (n=0) і - енергії нульових коливань. Незважаючи на деяку штучність поняття квазічастинок, введення їх у розгляд (метод квазічастинок) значно спрощує вирішення багатьох питань і задач фізики твердого тіла. Наприклад, введення фононів дозволяє у багатьох випадках розглядати тверде тіло як ящик, в якому вміщується газ фононів [9]. Газ фононів має незвичайні властивості: фононів тим більше, чим вища температура, а при наближенні до Т=0К їх число прямує до нуля. На сьогодні засобом експериментального спостереження хвиль у решітці є непружне розсіяння теплових нейтронів на фононах.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Елементи квантової теорії пружних хвиль у кристалі» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
