Констатировав, что полупроводники, по-видимому, всегда обладают сложной зонной структурой, мы приведем несколько примеров, сопровождая их пояснениями о тех методах, с помощью которых различные виды особенностей зонной структуры могут быть исследованы. Те картины зон, которые приводятся на нескольких следующих страницах, не следует считать количественно точными, поскольку в данной области непрерывно поступающая новая информация постоянно заставляет пересматривать наши представления о величине энергетических щелей и т. д. По-видимому, наиболее близка к нашей «идеализованной» структуре рис. 4.46 зонная структура сульфида кадмия, изображенная на рис. 4.47. Это твердое тело обычно кристаллизуется в решетке вюрцита (см. рис. 1.32), которая обладает единственным неэквивалентным направлением. Как можно видеть, в соответствии с этим имеется единственная самая верхняя валентная зона, однако эффективная масса в этой зоне сильно 448 Гл. 4. Полупроводники (000) К параллелен I к щпендику- оси о лярен оса с Рис. 4.47. Три самые верхние валентные зоны и самая нижняя зона проводимости для CdS — твердого тела, кристаллизующегося в структуре вюрцита, изображенной на рис. 1.32. Отметим, в частности, сильную анизотропию массы для самой верхней валентной зоны. зависит от направления к. Кроме того, имеются две другие валентные зоны, отделенные от самой верхней небольшими энергетическими зазорами, так что свободные дырки в CdS при высоких температурах должны быть распределены в верхних частях всех трех валентных зон. В результате свободные дырки в CdS имеют очень малую подвижность. Однако поведение зоны проводимости оказывается достаточно простым и анизотропия эффективной массы в этой зоне мала. Несколько более сложная зонная структура, однако, такая, при которой экстремумы зоны проводимости и валентной зоны все еще расположены в центре зоны Бриллюэна, показана на рис. 4.48. Для этих зон арсенида галлия валентные зоны VI и V2 являются вырожденными,*1 в точке их верхнего экстремума. Конечно, любая теория валентной зоны в таком материале должна требовать вырождения всех трех валентных зон в центре зоны Бриллюэна до тех пор, пока не учитывается спин-орбитальное 47 Здесь термин «вырожденный» использован в спектроскопическом смысле, т. е. означает, что «два или более состояний обладают одной и той же энергией». В примечании 16 гл. 3 мы уже говорили, что термин «вырожденный» используется как в этом случае, так и для описания конденсированного электронного газа Ферми — Дирака с «вырожденной» электронной теплоемкостью. 4.3. Зонная структура реальных полупроводников 449 l(iii) А У (000) Л Х(ЮО) При8еденный В$лно8ой дентор у Рис. 4.48. Зоны, находящиеся непосредственно над собственной щелью арсе- нида галлия и непосредственно под ней (Т«300 К). Этот материал кристаллизуется в структуре цинковой обманки, изображенной на рис. 1.31,0. Зона Бриллюэна представляет собой многогранник, изображенный на рис. 4.45. / — зона тяжелых дерок VI; 2 — зона легких дырок V2\ 3 — отщепленная зона V3. взаимодействие®. Валентную зону VS на рис. 4.48 называют отщепленной, а энергетический зазор, составляющий, как отмечено, 0,36 эВ,— спин-орбитальным расщеплением. Зона V3 в арсениде галлия расположена достаточно низко, чтобы оставаться незаполненной свободными дырками, распределяющимися по верхним состояниям зон VI и V2. Зону VI, обладающую большей плотностью состояний (т. е. большой эффективной массой), обычно называют зоной тяжелых дырок, а зону V2 — зоной легких дырок. Из-за сходства кривизны зависимостей е (к) для левой и правой частей зонной структуры на рис. 4.48 может показаться, что тяжелые и легкие дырки в соответствующих зонах по крайней мере обладают скалярными эффективными массами. Однако более детальный анализ показывает, что такое впечатление ошибочно. Поверхность постоянной энергии отклоняется от сферической формы вдоль 48 Спин-орбитальные взаимодействия происходят как в твердом теле, так и в изолированных атомах. Явление состоит во взаимодействии магнитного поля, обусловленного электронным спином, с магнитным полем, вызванным орбитальным движением того же самого электрона. Роль этого взаимодействия в расщеплении энергетических зон, которые без него были бы вырожденными, показана Эллиотом [Elliot R. /.—Phys. Rev., 96, 266 (1954)]. 450 Гл. 4. Полупроводники направлений [100] для тяжелых дырок и [111] для легких дырок. Кроме того, имеются теоретические предпосылки полагать, что зона VI достигает максимальной энергии в нескольких эквивалентных точках k-пространства, расположенных на малом расстоянии от к= (000). Зоны проводимости GaAs менее сложны, чем валентные зоны, однако и они не соответствуют «идеализированной» ситуации на рис. 4.46. Самый нижний минимум зоны проводимости, обозначенный Г6, обладает скалярной эффективной массой; однако энергия над гс растет медленнее, чем k2, так что величина эффективной массы тс должна увеличиваться с ростом энергии. В тепловом равновесии верхние долины зоны проводимости, обозначенные L6, не содержат свободных электронов, однако электроны могут быть возбуждены из Гв в L6 в сильном электрическом поле, как говорилось в разд. 4.2. Если в зоне Бриллюэна арсенида галлия изобразить поверхности постоянной энергии для Le-долин, то энергии непосредственно над дном такой зоны будет соответствовать восемь вытянутых полуэллипсоидов, напоминающих изображенные для Ge на рис. 4.50. Конечно, арсенид галлия и другие соединения АщВу, являющиеся его гомологами, имеют различные зоны проводимости. На рис. 4.48 показаны только две нижние из них. Более высокие зоны не играют роли при исследовании квазиравновесных состояний полупроводника, однако они могут повлиять на оптические и фотоэмиссионные его характеристики в видимой и ультрафиолетовой частях спектра. Когда мы рассматриваем зонную структуру твердого тела, кристаллографически подобного GaAs, однако с другим представлением Фурье для периодического потенциала, порядок расположения зон вполне может оказаться другим. В качестве примера на рис. 4.49 показаны зоны, лежащие выше и ниже собственной щели, для элементарных полупроводников кремния и германия. Алмазная решетка каждого из этих элементов представляет собой структуру цинковой обманки GaAs, взятую с двумя идентичными атомами в качестве базиса. Первое, что можно увидеть на рис. 4.49,— это то, что порядок следования валентных зон совершенно такой же, как для валентных зон GaAs на рис. 4.48. Энергия спин-орбитального расщепления очень мала как для германия, так и для кремния (0,28 эВ в германии и только 0,04 эВ в кремнии). Однако во всех трех случаях имеется «зона тяжелых дырок» с экстремумом, расположенным в точке (000), и поверхностями энергии, несколько отклоняющимися от сферической формы для более низких энергий; эта зона определяет большую часть свойств кристаллов р-типа. 4.3. Зонная структура реальных полупроводников 451 (Ш) (ооо) аоо) (Ш) (ооо) шо) Приведенный долнобой бектор Рис. 4.49. Полуколичественный вид зависимости энергии электрона от приведенного волнового вектора для трех верхних валентных зон и нескольких первых зон проводимости германия и кремния. Зоны изображены в соответствии с представлениями Германа и др. [Herman F. et al. Quantum Theory of Atoms, Molecules and the Solid State, ed. P. 0. Lowdin, Academic Press, 1966, p. 381]. Важное различие между структурой, изображенной на рис. 4.48, и двумя структурами на рис. 4.49 заключается в положении точки (точек) k-пространства, отвечающих минимально возможной энергии в зоне проводимости. В случае германия минимальное значение достигается не в центре ЗБ (как в GaAs), а в восьми точках на границе зоны при q = [l/2l/2l/2]\ электроны зоны проводимости будут преимущественно занимать состояния в этих восьми областях ЗБ. В кремнии наинизшее значение энергии зоны проводимости достигается в шести точках, для которых <7 = [3/400]. Для зон такого типа, как зона проводимости кремния и германия, плотность состояний g(e) и эффективная масса плотности состояний пгс должны учитывать вклад от всего набора эллипсоидов, а не только от одного минимума энергии. На рис. 3.50 мы уже показывали набор из шести эллипсоидов, позволяющий описать энергию, расположенную над ес в кремнии. Предположим, что минимум зон проводимости располагается в 9i эквивалентных точках внутри приведенной зоны. Предположим также, что мы можем нарисовать набор эллипсоидных 452 Гл. 4. Полупроводники поверхностей для любой энергии чуть выше минимальной и что величина [1i2(dh/dk2)-1] равна mt вдоль продольной оси эллипсоида и равна т* вдоль каждой из его поперечных осей. Тогда суммарный вклад от 9? эллипсоидов приводит к плотности состояний (4.82) что дает для массы плотности состояний в формулах (4.1) и далее величину m^^^m?)173. (4.83) Сделанные выше замечания полностью применимы к зоне проводимости кремния, где 9^ минимумов располагаются внутри приведенной зоны. Для зоны проводимости германия минимумы энергии расположены в восьми точках на границе зоны Бриллюэна, и энергия, слегка превышающая минимальную, может быть представлена восемью полуэллипсоидами в приведенной зоне (рис. 4.50). Для каждой пары экстремумов, находящихся на расстоянии единичного вектора обратной решетки, два полуэллипсоида вместе дают один целый эллипсоид, т. е. в формулы (4.82) и (4.83) в данном конкретном случае следует подставлять 9^ = 4. В задаче 4.16 рассматриваются два других простых примера, использующие такой же принцип.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Примеры зон для реальных твердых тел» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
