Средняя длина свободного пробега, подвижность, электропроводность
По-видимому, самым простым исследованием свойств полупроводника является измерение его электропроводности. Результат этого измерения зависит от числа подвижных носителей заряда (электронов, дырок или тех и других), от распределения их тепловых скоростей и отклонения от равновесного распределения, которое вызывается приложенным электрическим полем. Используемая теория обычно основана на приближении кинетического уравнения Больцмана (разд. 3.2). Всегда можно с уверенностью считать, что в металле любое приложенное электрическое поле производит сдвиг распределения электронных скоростей, представляющий собой малое воз- 4.2. Явления переноса в полупроводнике 405 мущение равновесного распределения. Такое же предположение делается при рассмотрении «обычной», или «квазиравновесной», проводимости в полупроводнике, находящемся под воздействием не слишком большого поля. Однако в полупроводнике можно приложить электрическое поле, которое достаточно велико, чтобы радикально изменить распределение скоростей. О возникающей при этом проводимости (о которой опять пойдет речь ниже в этом разделе) говорят, что она определяется горячими носителями заряда. Эффекты разогрева полем (горячих носителей) определяют работу многих полупроводниковых приборов на основе монокристаллов и чрезвычайно важны для приложений к аморфным полупроводникам. Рассмотрим обычную электропроводность (в слабом поле), возникающую в результате переноса носителей в полупроводнике n-типа, имеющем в равновесии п0 подвижных электронов в единице объема. Мы будем оперировать скалярной эффективной массой тс, которая представляет собой результат подходящего усреднения по анизотропии поверхностей постоянной энергии, лежащих непосредственно над ес. Тогда по аналогии с формализмом разд. 3.2 электропроводность должна иметь вид а = -55^-L = Л& = „oetv (4.47) mc mcs Здесь Xm — среднее время свободного пробега между рассеивающими соударениями, должным образом усредненное по всему распределению электронов, a k = sxm является соответствующей средней длиной свободного пробега для распределения электронов, обладающего средней скоростью теплового и нулевого (в квантовомеханическом смысле) движения 5. Величина и„--^ = -^ (4.48) mc nicS представляет собой подвижность электронов, и все свойства переноса электронного газа в полупроводнике наиболее удобно могут быть выражены с помощью единственной величины |in. Подвижность — это отношение дрейфовой скорости (в м/с) к приложенному полю (в В/м) и выражается соответственно в единицах м2/В-с. Эта единица совпадает с (Тл)-1. Перенос дырок в полупроводнике р-типа описывается аналогичной величиной — дырочной подвижностью |лр. В случае амбиполярной проводимости собственного полупроводника или близкого к собственному в выражение для полной электропроводности полупроводника входят обе подвижности — и дырочная и электронная: <J = e{n\in + piip). (4.49) 406 Гл. 4. Полупроводники Характер изменения электронной подвижности с температурой зависит от следующих причин: 1) вырожден или нет электронный газ, 2) от конкретного вида связи энергии с волновым вектором для самых нижних состояний зоны проводимости полупроводника (которую мы пытаемся как-то описать, вводя некоторую «усредненную» эффективную массу в том случае, когда тензор масс фактически анизотропен) и 3) от того, какие процессы определяют рассеяние. По-видимому, эти процессы включают рассеяние акустическими фононами, оптическими фоно- нами, нейтральными и ионизованными центрами и дислокациями. Когда два или более процессов рассеяния имеют сравнимые скорости, необходимо вычислять подвижность (а следовательно, и электропроводность), определяя величину т=[(1/т.) + (1/т,) + (1/т,)+. . Г1 (4.50) как функцию энергии электрона, а затем уже выполняя операцию усреднения по всем скоростям электрона или энергиям. Только в этом случае мы найдем правильное значение %т. Практически установлено, что ошибка оказывается не слишком велика, если каждый процесс рассеяния рассматривать отдельно, вычисляя отвечающую ему усредненную по всем скоростям длину свободного пробега, а затем объединить эти длины согласно соотношению Ь=1(1/Кд + (Шь) + (УК)+. . -Г1. (4.51) Последняя (несколько сомнительная) процедура фактически означает объединение «подвижностей» для разных процессов рассеяния, полученных в пренебрежении всеми прочими в соответствии с формулой |*Л = К1/|^) + (1/|хЛ) + (1/|Хс)+- . -Г1. (4.52) Только в отдельных случаях и при очень тщательных расчетах можно обнаружить, что процессы рассеяния объединяются в соответствии с (4.50), а не (4.52) *. Рис. 4.27—4.29 показывают, как подвижность дырок (рис. 4.27) или электронов (рис. 4.28 и 4.29) изменяется с температурой для трех типичных полупроводниковых монокристаллов. Форма кривых определяется конкуренцией нескольких процессов рассеяния, причем эта конкуренция сильно зависит от температуры. Мы еще вернемся к этим рисункам, когда будем обсуждать различные механизмы рассеяния. * Это утверждение автора сомнительно. Ошибка в вычислении результирующей подвижности не по обратным временам релаксации, а но обратным подвижностям особенно заметна в случае компенсированных полупроводников. — Прим. ред. 4.2. Явления переноса в полупроводнике 407 Теппера/т/ра, К Рис. 4.27. Зависимость подвижности свободных дырок от темпера 1уры в кристаллах германия, легированных акцепторами меди (и в гораздо меньшей концентрации компенсирующими донорами). Концентрация меди лежит в пределах от ~1019 м~3 для образца 143,13 до ~ 1022 м-3 для образца NSa [Norton P., Levinstein И.— Phys. Rev, B6, 470 (1972)]. Вырожденное состояние возникает, когда п0 имеет большую величину, а температура довольно низка. Можно ожидать, что в этих условиях процесс проводимости сходен с проводимостью в металле, где (iin имеет ту же температурную зависимость, что и электропроводность, кривая для которой показана на рис. 3.1. При этом аналогия между металлом и вырожденным полупроводником несколько преувеличена, поскольку поведение электронов в полупроводнике в гораздо большей степени зависит от статических нарушений (дефектов). Для вырожденного электронного распределения в полупроводнике усреднение длин и времен свободного пробега производится для электронов, энергии которых расположены в пределах 1-2 k0T от энергии Ферми. Скорость электрона, подставляемая в знаменатель выражений (4.47) и (4.48), в этом случае есть фермиевская скорость sf = [2(ef—er)/mc)]1/2. Можно 408 Гл. 4. Полупроводники I I I I I I I ' i г-^л—I—I I 1\1 I I I Температура, К Рис. 4.28. Температурная зависимость холловской подвижности электронов в монокристаллах Mg2Ge n-типа [Li P. W., Lee S. N., Danielson G. С.— Phys. Rev., B6, 442 (1972)]. Штриховые липни условно изображают зависимости, ожидаемые для решеточного рассеяния (Г—3 2) и для рассеяния на ионизованных примесях (ГЗ/2). Для нескольких образцов «холловская подвижность» аномально падает при низких температурах из-за проводимости по примесям. вычислить, как величина |in должна изменяться с температурой для такого вырожденного распределения, при котором преобладает рассеяние на фонолах, ионизованных центрах и т.д.16. Однако практически подвижность в полупроводниковом образце с большим числом свободных электронов обычно слабо изменяется в широком интервале температур. Примером этого являются две почти совершенно плоские зависимости для образцов InSb XS22 XS25 на рис. 4.29. 16 Рассеяние электронов для вырожденных электронных распределении обсуждается, например, в книгах Смита и Путли, указанных в библиографии и конце этой главы. [См. также: Фистуль В. II. Сильно легированные полупроводники—М.: Наука, 1067. -- Прим. ред.] 4.2. Явления переноса в полупроводнике 409 1 3 Ю 30 ГОО 300 Температура, К Рис. 4.29. Подвижность электронов в образцах InSb n-типа, полученная из измерений электропроводности и эффекта Холла [Putley Е. #.— Proc. Phys. Soc, 73, 280 (1959)}. В образцах XS22 и XS25 с л0~ Ю22 м~3 электронный газ вырожден. Для образца 20/3 Ло~3-1020 м~3, и полная концентрация ионизованных центров, которые могут принимать участие в рассеянии, не намного превышает это значение. Образец 19/15 обладает примерно такой же концентрацией свободных электронов, однако он сильнее компенсирован и поэтому содержит больше ионизованных центров, уменьшающих подвижность при низких температурах. Гораздо более интересное многообразие вида температурных кривых подвижности наблюдается, когда электроны в полупроводнике имеют невырожденное (больцмановское) распределение. Когда концентрация электронов достаточно мала, а температура достаточно велика, чтобы обеспечить справедливость невырожденного приближения, скорость s, входящая в уравнение (4.47) и (4.48) равна s^(8k0Tlntncy/2. (4.53) Для такого случая полного отсутствия вырождения предположим, что зависимость длины свободного пробега от температуры и от энергии электрона (т. е. от квадрата его скорости) может быть аппроксимирована выражением 1-=АТп(е—ес)«. (4.54) Числа р и q зависят от того, на чем (фононах, примесных центрах и т. д.) фактически рассеивается большая часть электронов. Тогда при использовании этой длины свободного пробега 410 Гл. 4. Полупроводники в кинетическом уравнении Больцмана она усредняется по больцмановскому распределению в духе равенства (3.33): оо I X, (е — ъс) ехр (— Blk0T) йг I = -^ . (4.55) ОО J (е — ес) ехр (— E/k0T) de Следовательно, оо 1= А Тр (k0T)~^ (е-е,)^1 ехр (-^=г-) Л = = AT(q+2)TP(k0T)<i, (4.56) где температурная зависимость содержит характерным образом обе величины р и q. Если подставить температурные зависимости (4.53) и (4.56) в выражение (4.48), подвижность должна принять вид рп = ВТР+ч~и*, (4.57) где постоянная В зависит от выбора соответствующей микроскопической модели электронного рассеяния.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Средняя длина свободного пробега, подвижность, электропроводность» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
