Согласно уравнениям Максвелла, магнитное поле, действующее на электрон, стремится изменить направление движения электрона, не изменяя его энергии. Это следует из формулы (3.35) для силы Лоренца. Таким образом, магнитная индукция Bz оказывает влияние на движение в плоскости ху, не изменяя движения в направлении z. Если электрон не рассеивается, то он описывает в плоскости ху некоторую орбиту, движение по которой накладывается на любое движение в направлении г. Квазисвободный электрон со скалярной массой т* описывает круговую орбиту радиусом г, по которой электрон движется с угловой частотой сос. Связь между этими величинами определяется условием равенства центробежной силы (т*о)с2г) и уравновешивающей ее силы Лоренца (гсосеВ2). Таким образом, угловая циклотронная частота равна со, = еВ2/т*; (3.166) она не зависит от кинетической энергии электрона. (От энергии зависит размер орбиты в реальном пространстве, поскольку е = т*о)с2г2/2.) Циклотронная частота для обычно применяемых магнитных полей лежит в радио- и микроволновой области электромагнитного спектра, так как vc = (о)с/2я) = 28,0 (Bzm/m*) ГГц (3.167) для магнитной индукции, выраженной в теслах. Под действием магнитного поля движение электрона в реальном пространстве сопровождается прецессией в к-простран- стве по траектории с постоянной энергией в зоне Бриллюэна. Конечно, для очень сильно вырожденного электронного газа в металле это движение наблюдается только для электронов с энергией Ферми, т. е. для электронов, которые описывают в k-пространстве орбиты вокруг поверхности Ферми. Поскольку какое-то рассеяние электронов на фононах и дефектах неизбежно даже в почти идеальном кристалле при низких темпе- 308 Гл. 3. Электроны в металлах ратурах, отчетливо выраженное циклотронное движение может быть получено только при условии (о)сТт)>1, т. е. когда электрон может пройти значительную часть своей магнитной орбиты до того, как он будет рассеян. Большая часть электронов с энергией Ферми имеет отличную от нуля компоненту импульса, параллельную Bz. Эти электроны описывают в k-пространстве круговую траекторию с радиусом, меньшим радиуса ферми-сферы. Их траектория в реальном пространстве складывается из движения по окружности в плоскости ху и прямолинейного движения в направлении z. Однако некоторые электроны с энергией Ферми обладают нулевой компонентой импульса в г-направлении. Под действием поля Bz эти электроны должны двигаться по экваториальной траектории (по «большому кругу») вокруг сферы Ферми, а их движение в реальном пространстве также является чисто круговым — на него не налагается никакое прямолинейное движение. Такая экваториальная орбита вокруг сферы Ферми представляет собой простейший вид экстремальной орбиты — того класса орбит, который очень важен в экспериментах по циклотронному резонансу. Даже когда форма поверхности Ферми далека от сферической, существуют определенные экстремальные траектории, которые могут быть определены и использованы для характеристики топологии поверхности. Теперь должно быть очевидно, что сферическая поверхность Ферми может быть обнаружена в металле только в силу случайных обстоятельств. Гораздо более типична ситуация, когда магнитное поле Bz заставляет электроны с энергией Ферми двигаться в k-пространстве вокруг поверхности Ферми по траектории, вдоль которой эффективная масса непрерывно изменяется. Тогда скорость, с которой волновой вектор меняется со временем, непостоянна; это ясно уже из того, что магнитная сила, действующая на электрон, равна ft (dk/dt) и также равна —e(vXB). В результате скорость движения электрона по орбите в реальном пространстве не постоянна, что исследуется для простого случая в задаче 3.32. В экспериментах по циклотронному резонансу используется поглощение электромагнитной энергии на радиочастоте со, когда магнитная индукция В подобрана таким образом, что о) = о)с. Тогда использование различных комбинацией со и В позволяет (в принципе) получить информацию относительно тензора эффективной массы для электрона с энергией Ферми. Фактическая теория циклотронного резонанса гораздо более сложна как для полупроводников, так и для металлов. Для полупроводникового материала, в котором плотность свободных электронов мала, эксперименты по циклотронному резонансу могут быть выполнены с электромагнитными вол- 3.5. Динамика движения электронов 309 нами, проникающими в твердое тело. Трудности, которые при этом возникают, связаны с топологией поверхностей постоянной энергии и с гибридными плазменными резонансами67 в том случае, когда концентрация свободных электронов не слишком мала. Частоты, используемые для исследования циклотронного резонанса в металле, всегда гораздо меньше плазменной частоты (поскольку концентрация электронов в металле настолько велика, что и частота сор становится очень большой). Как было указано в разд. 3.3, для со<(ор вещественная часть диэлектрической проницаемости отрицательна. В соответствии с этим металл для таких частот непрозрачен и глубина проникновения 6 (толщина скин-слоя) гораздо меньше толщины образца. В этом случае от средней длины свободного пробега электрона К зависит, чем будут определяться электрические характеристики поверхности для электромагнитных волн радиодиапазона: нормальным скин-эффектом или аномальным скин-эффектом. Первый случай осуществляется при Х<5, а второй при Х>6. В последнем случае можно возбудить циклотронное движение, комбинируя действие постоянной магнитной индукции, (например, Bz) и высокочастотного электромагнитного поля; при этом используется геометрия, предложенная Азбелем и Ка- нером68 (рис. 3.56). Названные авторы указали, что если постоянная магнитная индукция Bz лежит в плоскости поверхности, то циклотронное движение должно происходить в плоскости, пересекающей поверхность. Некоторые циклотронные орбиты при этом достигают области высокочастотного скин-слоя, как показано на рисунке. Электроны, движущиеся по таким орбитам, приближаясь к поверхности, могут испытывать действие высокочастотного поля с угловой частотой со и приобретать энергию от ноля или отдавать ее полю в зависимости от соотношения между со и циклотронной частотой оос. Таким образом, поверхностный импеданс кристалла по отношению к высокочастотному излучению является функцией величины магнитной индукции. 67 Согласно зонной теории выражение (3.107) для плазменной частоты заменяется выражением, содержащим эффективную массу: соР = (пе2/т*ео) Поэтому, если концентрация электронов в полупроводнике не настолько мала, чтобы выполнялось неравенство (оР<Ссос, максимальное взаимодействие электромагнитного поля с модами электронного движения будет происходить не на самой частоте сос, а на верхней гибридной частоте (о)с2 + (Ор2) Влияние плазменного резонанса на измерение циклотронного резонанса обсуждается в работе: Dresselhaus G., Kip A. F., Kittel С— Phys. Rev., 100, 618 (1955). 68 Азбель М. Я., Канер Е. А.— ЖЭТФ, 1956, т. 3, с. 772; J. Phys. Chem. Sol., 6, 113 (1958). 310 Гл. 3. Электроны в металлах Рис. 3.56. Геометрия Азбеля — Канера для наблюдения циклотронного резонанса в металлическом кристалле. Заштрихован скин-слой, имеющий глубину <д для высокочастотного излучения с частотой о. Показана одна из возможных орбит, проходящих через поверхностный слой. Такая орбита может соответствовать циклотронному движению, возникающему под действием магнитной индукции BZt приложенной в плоскости поверхности. Наблюдение резонанса Азбеля — Канера должно проводиться на металлическом монокристалле высокой частоты и совершенства, одна грань которого [например, (100) или (111)] обработана с особой тщательностью, чтобы при низких температурах среднее время свободного пробега (а следовательно, средняя длина свободного пробега) было велико как в объеме кристалла, так и в скин- слое. Энергия высокочастотного поля может быть связана с энергией кругового движения электронов при условии Я>б. Если при этом также (Dctm^l, то может наблюдаться острый циклотронный резонанс, когда частота со равна или кратна юс. Для успешного наблюдения резонансных явлений следует работать с чистым совершенным монокристаллом при низких температурах, чтобы средняя длина свободного пробега была велика по сравнению с размером циклотронной орбиты. Поверхность, на которую падает высокочастотное излучение, должна быть хорошего качества, чтобы значение К в приповерхностном слое было таким же, как в объеме. В этих условиях значение К будет большим по сравнению с толщиной скин- слоя б и движущийся по окружности электрон будет взаимодействовать с высокочастотным полем только в течение малой доли своего периода обращения. Азбель и Канер указали, что при К>6 и ((йсХт)^>1 взаимодействие между высокочастотным полем и циклотронным движением может быть обеспечено как при (о = сос, так и при значении со, достаточно малом кратном <ос. Пусть Вс — магнитная индукция, при которой а) = о)с. Для магнитной индукции, составляющей целую долю от ВС1 интервал между двумя последовательными попаданиями данного электрона в поверхностный слой равен нескольким периодам высокочастотного поля. Однако и в этом случае высокочастотное поле сможет повторить свое воздействие на электрон в тот момент, когда он снова окажется у поверхности. Азбель 3.5. Динамика движения электронов 311 0J 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Рис. 3.57. Зависимость поверхностного сопротивления (вещее гзенной части поверхностного импеданса) для свободного электронного газа в металле при частоте высокочастотного поля о от индукции В (верхняя кривая). По осиг абсцисс отложена нормированная величина В/ВСу где £с=сот/е — индукция,, для которой со и циклотронная частота совпадают. Эта кривая может быть рассчитана по формуле (3.168) модели Азбеля — Канера. Следует заметить, что производная dR/dB (нижняя кривая, имеющая осциллирующий ход) достигает максимума всякий раз, когда индукция В составляет целую долк> от Вс. Это показывает, что эксперимент по циклотронному резонансу удобно строить таким образом, чтобы в нем измерялась и записывалась непосредственно величина dRfdB как функция магнитной индукции при фиксированной частоте высокочастотного поля [Haussler P., Welles S. J.— Phys. Rev., 152, 675 (1966)]. и Канер установили, что зависимость комплексного поверхностного импеданса от магнитной индукции определяется выражением Z(B) = Z0[1—ехр(—2я/сотт)ехр(—2яшс/со)]1/3, (3.168> где магнитная индукция входит в величину сос. Осциллирующее поведение вещественной части этого импеданса (поверхностного сопротивления) показано на рис. 3.57. Там же показан ход производной (dRfdB)—величины, которую можно измерять, непосредственно в эксперименте. На рис. 3.58 приведены для примера результаты экспериментального наблюдения резонанса Азбеля — Канера на очень чистом образце меди при низких температурах. Различие двух кривых показывает, как важно, чтобы рассеяние электронов* 312 Гл. 3. Электроны в металлах 1 п-Ю i2K Щ 1 ! мК г\ vvvv В Вдоль [100] /ч л л А /\ WVV/ 1 1 1 -J I I L_ 0,1 Q,Z 0,3 Qfi В, Tji Рис. 3.58. Результаты экспериментального наблюдения резонанса Азбеля — Канера в кристалле чистой меди при двух температурах. Кривая для более высокой температуры сглажена из-за возросшего теплового рассеяния движущихся по циклотронной орбите электронов. Поверхность кристалла представляет собой плоскость (ПО), магнитное поле, направленное вдоль [100], лежит в этой плоскости. Наблюдается резонанс для электронов, движущихся по экстремальной «поясной орбите», охватывающей основной объем поверхности Ферми (см. рис. 3.51) [Haussler P., Welles S. /.— Phys. Rev. 152, 675 (1966)]. было сведено к минимуму. Кривую, снятую при 4,2/С, можно непосредственно сравнить с предсказаниями теории Азбеля — Канера и определить из нее размер орбиты для электронов с энергией Ферми в меди. Для такой ориентации полей, при которой были получены данные на рис. 3.58, важна электронная «поясная» орбита (belly orbit), когда электроны движутся в k-пространстве почти по круговой траектории вокруг основного обхвата поверхности Ферми, показанной на рис. 3.51. Поясная орбита является экстремальной; она максимизирует циклотронный период; точно так же «шеечная орбита» вокруг шейки, показанной у границы зоны на рис. 3.51 и 3.52, экстремальна в том смысле, что она минимизирует циклотронный период по сравнению с соседними орбитами. Особая важность экстремальных орбит связана с тем, что электроны, прецессирующие по орбитам, лежащим на несферической поверхности Ферми, обладают в данном магнитном поле множеством периодов. Однако вклады электронов с неэкстремальных орбит взаимно компенсируются из-за различия фаз. Основной вклад дает экстремальная область, в которой первая производная периода по компоненте к, направленной вдоль магнитного поля, обращается в нуль. Эта область ответственна за значительный сигнал, находящийся в фазе. Проблема электронных орбит в металле в случае, когда величина магнитной индукции достаточно велика, интенсивно раз- 3.5. Динамика движения электронов 313 рабатывается с середины 50-х годов и заслуживает гораздо более подробного рассмотрения. Заинтересованного читателя мы отсылаем к библиографии в конце главы; в перечисленных работах он найдет обсуждение таких вопросов, как «открытые орбиты» (экстремальные орбиты, охватывающие несколько повторяющихся зон), размерные резонансные эффекты (Гант- махер, 1964) и другие интересные результаты, позволившие так радикально улучшить наши представления о зонной структуре металлов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Циклотронный резонанс» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
