Теперь необходимо рассмотреть зоны Бриллюэна еще раз для структур, имеющих два и три измерения. Двумерная зона Бриллюэна для косоугольной решетки была показана на рис. 1.52. По определению ее центр размещен в одном из узлов обратной решетки, и она ограничена набором бисекторов* векторов обратной решетки, выходящих из центра. Эта зона имеет ту же площадь, что и элементарная ячейка, определяемая базисными векторами обратной решетки. Обобщая, можно сказать, что для твердого тела, имеющего m измерений, объем единичной ячейки в обратном пространстве, как и объем каждой из зон Бриллюэна, равен (2л)т, поделенному на объем элементарной ячейки в реальном пространстве. Разрешенную плотность электронных состояний в обратном пространстве можно определить, обратившись к рис. 3.7; это позволяет понять высказанное выше утверждение, что для элементарного твердого тела, содержащего N атомов, зона Бриллюэна вмещает 2N электронных состояний (множитель 2 возникает из-за спинового вырождения). Следует подчеркнуть, что не только первая зона Бриллюэна может вместить 2N состояний, но и * Бксектором вектора автор называет геометрическое место точек, равноотстоящих от его концов. Таким образом, в одномерном пространстве — это точка, делящая вектор пополам, в двумерном — прямая линия, проведенная перпендикулярно вектору через его середину, а в трехмерном — плоскость, перпендикулярная вектору и проходящая через его середину.— Прим. перев, 266 Гл. 3. Электроны в металлах любая зона более высокого порядка в представлении расширенных зон должна обладать (в обратном пространстве) таким же объемом. Это должно быть так, поскольку любая зона более высокого порядка путем трансляции на соответствующий вектор обратной решетки может быть переведена в приведенную зону. Легко видеть, что все зоны одномерной решетки имеют одну и ту же длину в пространстве kx. Из рис. 3.24 видно, что m-я зона простирается от kx=[—mn/a] до [— (m—1)я/а] и затем от kx=[(m—1)п/а] до [пгл/а]. Следовательно, каждая зона имеет полный объем (т. е. длину), равный [2я/а]. Ниже мы убедимся, что все зоны двух и трех измерений также имеют одинаковый объем, однако сначала необходимо выяснить, каким образом строятся зоны выше первого порядка. Правила построения были сформулированы Бриллюэном43. Если связанная с электроном волна де Бройля (или в нашем случае другая волна) распространяется по периодической решетке, причем ее волновой вектор, измеренный от начала координат в k-пространстве, заканчивается на бисекторе вектора обратной решетки, то зависимость е(к) имеет разрыв. Такие значения к удовлетворяют условию дифракции Брэгга (1.54) или (3.133). Бриллюэн замечает, что зоны вводятся в целью исключить разрывы в дисперсионном соотношении е(к) везде, кроме зонных границ. Каждая зона должна быть ограничена перпендикулярными бисекторами векторов обратной решетки, исходящих из определенной ее точки, выбранной за начало координат к-прост- ранства. Поскольку обратное пространство для идеальной решетки бесконечно, за начало координат может быть выбрана любая точка обратной решетки. Для двумерной решетки перпендикулярными бисекторами являются прямые линии, как было показано раньше (см. рис. 1.52). Для трехмерной решетки каждый бисектор вектора обратной решетки есть плоскость. Ни один бисектор не может проходить через внутреннюю часть зоны. Поэтому объем, соответствующий п-& зоне Брил- люэна,— это объем, заключенный между п-й и (п—1)-й такими поверхностями. Границы зон для гипотетической двумерной квадратной решетки с постоянной решетки а определяются решениями уравнения mkx + nky = (я/а) (ma + п% (3.137) 43 Brillouin L.— J. Phys. Radium, 1, 377 (1930); Brillouin L. Wave Propagation in Periodic Structures, Dover, 2nd ed., 1953. [Имеется перевод: Брил- люэн Л., Пароды ЬА, Распространение волн в периодических структурах.— М.: ИЛ, 1959.] 3,4. Зонная теория твердых тел 267 101D1II01I Рис. 3.30. Первые десять зон двумерной квадратной решетки (Brillouin L. Wave Propagation in Periodic Structures, Dover, 2nd ea., 1953. [Имеется перевод: Бриллюэн JI., Пароди M. Распространение волн в периодических структурах.—М.: ИЛ, 1959.]) где шип — целые числа. Линии, удовлетворяющие этому уравнению, ограничивают первые десять зон для квадратной решетки, изображенных на рис. 3.30. Обратите внимание на разбиение k-пространств зонами высоких порядков. Тем не менее каждая такая зона может быть сведена по форме и объему к первой (приведенной) зоне путем трансляций на соответствующий вектор G. На рис. 3.31 показаны результаты составления такой «разрезной головоломки» для второй — девятой зон квадратной решетки. Отсюда видно, что каждая зона действительно имеет площадь (2jx/a)2. Возможно теперь читатель захочет узнать, когда лучшим способом описания энергетических зон в твердом теле служит представление приведенных зон, а когда лучше использовать представление расширенных зон. На рис. 3.32 дано трехмерное изображение зависимости энергии от волнового вектора. На этой трехмерной диаграмме энергия отложена по вертикальной оси, а векторы kx и kv — в горизонтальной плоскости для первой зоны и для соответствующих областей второй, третьей и 268 Гл. 3. Электроны в металлах m mMmm mM ММтМ т тмтт тм ММтМ 2-я зона, М 3-я зона, сед- 4-я зона, т 5-я зона, m 6-я зона, м лодая movm мм м мм м 7-я зона, сед- 8-я зона, т 9-я зона, т ло8ая точка Рис. 3.31. Приведение зон со второй по девятую к первой зоне для двумерной квадратной решетки (Brillouin L. Wave Propagation in Periodic Structures, Dover, 2nd ed., 1953. [Имеется перевод: Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах.— М.: ИЛ, 1959.]) четвертой зон. Разрывы в энергии, соответствующие переходу к через зонную границу, изображены как вертикальные уступы. Соответствующая фигура для модели свободных электронов с пренебрежимо малым периодическим потенциалом будет характеризоваться таким же общим возрастанием е с к, но не будет иметь разрывов. Таким образом, метод расширенных зон полезен для передачи информации, содержащейся в рис. 3.32. Представление приведенных зон оказывается более полезным, когда мы хотим узнать последствия изменения волнового вектора электрона, находящегося в зоне, выше первой. В задаче 3.23 исследуется вид траектории в k-пространстве для четвертой зоны квадратной решетки. Геометрические принципы, лежащие в основе построения зон, следующих за первой, для квадратной решетки, остаются в силе и для других двумерных и трехмерных решеток. На рис. 3.33 показаны первые пять зон для двумерной гексагональной решетки, а в задаче 3.24 предлагается привести зоны более высокого порядка к первой. В задаче 3.25 рассматриваются первые четыре зоны прямоугольной решетки. В трехмерном случае неизбежно геометрическое усложнение топологии зонной поверхности, если рассматривается любая структура, более сложная, чем простая кубическая (для 3.4. Зонная теория твердых тел 269 Рис. 3.32. Объемное изображение зависимости е (к) для гипотетической двумерной квадратной решетки; в представлении расширенных зон. По оси ординат отложена энергия, kx и kv — оси в горизонтальной плоскости. Изображены части зон i, 2, 3 и 4 для конечного периодического потенциала, создающего разрывы энергии конечной величины на зонных границах [Slater J. С. Quantum Theory of Molecules and Solids, v. 2., McGraw-Hill, 1965]. последней все будет точно так же, как в одно- и двумерном случае). На рис. 3.34 изображены первые четыре зоны для простой кубической решетки, а на рис. 3.35 и 3.36 показаны границы нескольких первых зон для о. ц. к.- и г. ц. к.-решеток. О. ц. к.-решетка имеет простую первую зону, однако внешняя поверхность второй зоны оказывается разбитой на фрагменты в k-пространстве в силу того, что области, принадлежащие соседним зонам, должны быть разделены векторами обратной решетки. Для г. ц. к.-кристалла с ребром куба а обратная решетка обладает о.ц.к.-симметрией с ребром куба (4я/а). Используя Й70 Гл. S. Электроны в металлах ЕВ 3 ГПТП 4 Рис. 3.33. Первые пять зон Бриллюэна для двумерной гексагональной решетки (Brillouin L. Wawe Propagation in Periodic Structures, Dover, 2nd ed., 1953. [Имеется перевод: Бриллюэн Л., Парода С. Распространение волн в периодических структурах.—М.: ИЛ, 1959.]) процедуру построения бисекторов для векторов обратной решетки, получаем, что первая зона имеет вид усеченного октаэдра с объемом 4(2я/а)2, т. е. в четыре раза большим, чем для простого кубического кристалла с таким же а. Дело здесь в том, что ребро куба в г. ц. к.-кристалле больше длины вектора элементарной трансляции для ромбоэдрической примитивной ячейки. Гранецентрированный куб содержит четыре атома, и зона Бриллюэна опять имеет объем, который может вместить два состояния с противоположными спинами на каждый атом. Это общее правило для элементарного твердого тела независимо от его структуры [см. задачу 3.26, где рассматривается гексагональная плотноупакованная (г. п. у.) решетка]. В химическом соединении имеется серия зон для каждого компонента. ЗА. Зонная теория твердых тел 271 1-я зона - центральный 2-я зона-между центральным /судом и додекаэдром 3-я зона- междуJodexa- здром и внешней поверхностью Приведение 2-й зоны Приведение 3-й зоны Приведение 4-я зона - Нежду 3-й ^ *"й 30НЬ1 зоной и новой внешней поверхностью Рис. 3.34. Первые четыре зоны Бриллюэна и их приведение к размеру и форме первой зоны для простой кубической решетки (Brillouin L. Wave Propagation in Periodic Structures, Dover, 2nd ed, 1953. [Имеется перевод: Брил- люэн Л., Народи М. Распространение волн в периодических структурах.— М,; ИЛ, 1959.]) 272 Гл. 3. Электроны в металлах Рис. 3.35. Первые три зоны Бриллюэна для твердого тела, кристаллизующегося в о. ц. к.-структуре (и, следовательно, обладающего обратным пространством с г. ц. к.-симметрией). Грани первой зоны параллельны плоскостям (ПО) [Slater /. С—Rev. Mod. Phys., 6, 212 (1934)]. Поскольку имеется соответствие между дискретными состояниями изолированного атома и зонами Бриллюэна в твердом теле, можно полагать, что 1 зона происходит от ls-состояний; 1 зона происходит от 25-состояний; 3 зоны происходят от 2/7-состояний; 1 зона происходит от Зя-состояний; 3 зоны происходят от Зр-состояний; 5 зон происходят от З^-состояний и т. д. Рис. 3.36. Первые четыре зоны Бриллюэна для твердого тела, кристаллизующегося в г. ц. к.-структуре. В этом случае обратное пространство обладает о. ц. к.-симметрией. Зоны Бриллюэна такой же формы были получены для структур, производных от г. ц. к., включая структуру алмаза и цинковой обманки (Harrison W A. Solid State Theory, McGraw-Hill, 1970. [Имеется перевод: Харрисон У. Теория твердого тела.— М: Мир, 1972.]) 3.4. Зонная теория твердых тел 273 Рис. 3.37. Гипотетический пример того, что может произойти с компонентами атомного р-состояния, когда ^ атомы сближаются и образуют твер- ^ дое тело. В данном случае р-состоя- | ния образуют зону, имеющую в це- ^ лом 6N состояний, с максимальной ^ плотностью состояний в верхней ее § части. § Г О 0/а0) О ЗЬ Обратное меж- Приведенный атопное расстояние волновой Вектор В кристаллическом поле атомные р- или d-состояния с шестью или десятью электронами на атом могут оставаться вовсе не- расщепленными или по крайней мере вырожденными при некотором значении к, как показано на рис. 3.37. В результате возникает энергетическая зона, содержащая более одной зоны Бриллюэна и имеющая более чем 2N электронных состояний. Наоборот, различные компоненты атомных р- и d-состояний Рис. 3.38. Зависимость энергии от волнового вектора для двух соседних зон в трехмерном твердом теле. ka, кь и kc — координаты границы зоны для различных направлений. Перекрытие происходит для ситуации, изображенной слева, поскольку самая большая энергия зоны / превышает самую низкую энергию зоны 2 (для другого направления в k-пространстве). По книге: Seitz F. Modern Theory of Solids, McGraw-Hill, 1940. 274 Гл..3. Электроны в металлах могут разделиться на неперекрывающиеся полосы энергий. Таким образом, реальные зоны могут иметь 2ЛГ, 4JV, 6N и т. д. состояний. В реальном (трехмерном) твердом теле перекрытие по энергии может иметь место для состояний, которые произошли от атомных уровней совершенно различных типов. Эту возможность иллюстрирует рис. 3.38, на котором показана зависимость е(к) для трех различных направлений в к-пространстве. Поскольку предполагается, что периодический потенциал отличен от нуля, энергия должна увеличиваться по мере движения к к границе зоны по любому из направлений ka, кь или &с. Для ситуации, изображенной в правой части рисунка, любая энергия во второй зоне больше любой энергии в первой зоне. Однако для ситуации, изображенной в левой части рисунка, самая большая энергия для направления kc в зоне 1 больше самой низкой энергии в зоне 2 для любого другого направления в к-пространстве. Следовательно, электрон из зоны 1 может быть переброшен в зону 2 без изменения энергии; таким образом, эти зоны образуют одну составную зону, содержащую AN состояний. Очевидно, перекрытие происходит и между зонами, изображенными на объемном рис. 3.32.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Зоны Бриллюэна для многомерных твердых тел» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
