Рассмотрим электронное состояние, для которого к находится на границе зоны, так что уровень энергии оказывается непосредственно над одной из щелей или под ней. Для одномерной ситуации, изображенной на рис. 3.24, 3.27 и 3.28, это означает состояние, для которого k=±nja. Вспомним, что для колебательных мод решетки на самой вершине акустической и на дне оптической ветви групповая скорость волн становится равной нулю; такие моды описываются стоячими волнами. В двухатомной решетке один вид атомов участвует в колебаниях той моды, которая лежит непосредственно под щелью, а другой — в колебаниях с самой низкой энергией оптической моды. Аналогичная ситуация имеет место для электронных состояний у края щели. Функция Блоха для электронного состоя- 264 Гл. 3. Электроны в металлах ния, лежащего у края зоны, представляет собой не бегущую, а стоячую волну, потому что электрон с таким волновым вектором, движущийся (в реальном пространстве) с компонентой импульса, перпендикулярной границе зоны (в к-пространстве), испытывает дифракцию Брэгга в соответствии с условием 2kG + Ga = 0 (3.133) [оно уже приводилось ранее, см. (1.54)]. Это условие выглядит сложным, будучи сформулировано для многомерного случая, однако для простого одномерного приближения его смысл ясен: k=±G/2=±n/a. (3.134) Для такого значения волнового вектора сдвиг фаз между волнами, отраженными от двух соседних атомов, равен я. Следовательно, решение для этого значения k содержит две равные компоненты, представляющие собой волну, распространяющуюся влево &= (—я/а) и вправо &=( + я/а). Это и есть стоячая волна. Волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, могут складываться двумя способами. Один из них представляет собой четную комбинацию: tfc, (х) = Ue (х) [exp (inxld) + ехр (—inx/a)] = 2Ue (х) cos (nxla), (3.135) где Ue(x) обладает периодичностью решетки, а косинус имеет период 2а. Волновая функция i|)e(x) не изменяется при замене х на — х. Другим способом стоячая волна может быть составлена из нечетной (антисимметричной) комбинации % (х) = U0 (х) [ехр (inx/a)<—ехр (—inxla)] = 2iU0 (х) sin (ях/а), (3.136) которая меняет знак при изменении знака х. Нет ничего страшного в том, что ^о(х) оказывается мнимой величиной, поскольку плотность электрического заряда, которая связана с волновой функцией, равна —£|i|>|2 и в обоих случаях она представляет собой вещественную отрицательную величину. Однако величина —£|ij>e|2 проходит через ряд максимумов для х, кратных а, в точках, где расположены атомные остатки. Плотность заряда, связанная с iM*)> обращается в этих точках в нуль, поскольку при этих значениях х синус обращается в нуль. Таким образом, электрон с волновым вектором k=±n/a может быть описан либо волновой функцией, отвечающей состоянию, в котором он большую часть времени проводит вблизи атомных остатков, либо волновой функцией такого состояния, в котором электрон должен оставаться в пространстве между 3.4. Зонная теория твердых тел 265 атомами. Поскольку в каждой точке, в которой находится атом, электростатический потенциал велик и положителен, и поскольку электрон обладает отрицательным зарядом, энергия состояния с волновой функцией 1|)е(лг) меньше энергии состояния фо(*)- Наличие периодического потенциала привело к появлению энергетической щели, которой не существует в теории свободных электронов. Для одномерного случая п-ю зону свободных электронов в приведенной зоне Бриллюэна получаем, взяв часть параболы (3.127) для свободных электронов с центром в начале координат и сместив ее на вектор обратной решетки, достаточно большой, чтобы обеспечить перенос из п-й зоны Бриллюэна в первую зону. Вообще, всякий раз, когда значение волнового вектора к свободного электрона пересекает границу зоны Бриллюэна, для конечного межатомного потенциала возникает щель. Теперь рассмотрим применение этого принципа к трехмерным твердым телам.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Отражение Брэгга и энергетическая щель» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
