Явления, для которых не существенно точное знание процессов рассеяния, описываются квантовой моделью свободных электронов достаточно хорошо, по крайней мере для более простых металлов. Мы уже убедились в этом на примере удельной теплоемкости и магнитной восприимчивости. Сейчас полезно отметить, что специального знания внутренних периодических потенциалов не требуется и для общего понимания уравнений, определяющих термоэлектронную эмиссию. Как видно из рис. 3.3, для участия в термоэлектронной эмиссии из твердого тела электрон должен обладать кинетической энергией, не меньшей, чем (ф+bf). Состояния с такими большими энергиями очень слабо заполнены, и для них можно _l L. 232 Гл. 3. Электроны в металлах с уверенностью воспользоваться больцмановской асимптотической формой выражения (3.45), а именно /(e,)-*exp (J^=i-) • « » «* (3-85) Иначе говоря, для столь высоких энергий плотность электронов (с учетом двух направлений спина) в пространстве скоростей определяется асимптотикой формулы (3.73) i л л л 1 /m \з /eF\ Г —m(vl+vl + 4) 1 Ь*>,Л.-Т(—) ехр(-^г)ехр[ \/ ]х X dVtdVydU;. (3.86) В качестве дальнейшего ограничения на плотность электронов, способных пересечь поверхность кристалла, укажем, что для того, чтобы выйти за поверхность в ^-направлении, электрон должен приближаться к ней с ^-компонентой скорости vx>[2(<j>+eF)/m]W (3.87) независимо от компонент его скорости в плоскости уг. Конечно, коль скоро электрон покинул твердое тело, большую часть своей кинетической энергии он затратил на приобретение потенциальной энергии и потому будет двигаться в х-направле- нии с гораздо меньшей скоростью их = Ы—2 (Ф + гР)1т\Х1\ (3.88) Распределение скоростей и энергий для электронов, вышедшие наружу, исследуется в задаче 3.18. Согласно (3.86), n(vx)dvx= ± (-^-)3е*р(^г);хР (-mvl/2k0T) f2dvx, (3.89) где / обозначает интеграл оо /= j" ехр.(—nwll2koT)duy = (2nk0T/m)i/2 (3.90) —оо или соответствующий интеграл, взятый в бесконечных пределах по vz. Подставляя (3.90) в (3.89), видим, что число электронов, способных к эмиссии, в бесконечно малом интервале скоростей vx составляет п (vx) dvx = (m2k0T/2n2h3) exp (eF/^T) exp (—mv2xl2k0T) dvx. (3.91) 3.3. Квантовая теория свободных электронов 233 Плотность тока, представляющего собой поток высокоэнер- гетичных электронов в положительном направлении оси х из металла наружу в окружающий вакуум, будет равна j-p(,4,/4./»e^,-r^»^A'*- (з-92) Здесь r(vx)—коэффициент отражения, который, согласно квантовомеханическому рассмотрению, должен быть введен даже в том случае, когда электрон обладает достаточной энергией для преодоления барьера. Доля отраженных электронов зависит от того, как именно изменяется поверхностный потенциальный барьер с расстоянием в атомном масштабе, о чем мы еще будем говорить в следующем разделе. Обычно предполагается, что r(vx) не слишком сильно меняется на том малом интервале скоростей, который дает основной вклад в интеграл (3.92). Это предположение позволяет вынести множитель (1—г) за знак интеграла. Тогда после подстановки выражения (3.91) для n(vx) формула для плотности тока эмиссии принимает вид оо J = (em*k0T/2n*h*) (1 -г) exp (eF!k0T) {HJ f lf2 vx X X exp [— mv2xl2k0T] dvx. (3.93) Интеграл в (3.93) может быть легко вычислен путем замены переменной у= (mvx2/2koT). Тогда оо оо I f*exp(— mvll2k0T)dvx=-^- 1 „ e~gdy = Этот результат можно подставить в (3.93), что даст плотность тока термоэлектронной эмиссии J = (emkoT2[2k2h3) (I—г) exp (— f/k0T)t (3.95) которая определяется отношением работы выхода к тепловой энергии k0T. Формула (3.95) представляет собой закон Ричардсона— Дэшмана для термоэлектронной эмиссии22, обычно выражаемый в виде j = AT*(l*-r) ехр (— ф/koT), (3.96) где А = (emkl/2n2ff) = 1,2 • 106 А/(м2 - К2). (3.97) Значения величин А{\—г) и ф могут быть определены по пересечению с осью ординат и наклону кривой Ричардсона, изображающей зависимость \g(J/T2) от 1/7 (рис. 3.16).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Термоэлектронная эмиссия» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
