Квантовая статистика оказалась способной объяснить и другие очевидные несообразности классических моделей. В частности, она объяснила, почему большая система электронов, обладающих спином, имеет довольно малую и не зависящую от температуры магнитную восприимчивость. После открытия электронного спина стало ясно, что парамагнетизм обусловлен направленной ориентацией магнитных моментов электронов из внешних атомных оболочек. Каждый электрон обладает магнитным моментом, равным одному магнетону Бора: \iB = eh/2m = 9,3- Ю-24 Дж/Тл (3.63) и направленным антипараллельно его угловому моменту (спину). Магнитные моменты электронов, спаренных на внутренних оболочках, взаимно компенсируются, однако во многих твердых телах происходит парамагнитное упорядочение спинов неспаренных электронов из внутренних оболочек17. Можно 17 В гл. 5 будет обсуждаться парамагнитное упорядочение спинов неспаренных электронов из внутренних оболочек, которое происходит во многих материалах, в том числе переходных металлах и редкоземельных элементах. Коллективное упорядочение приводит к ферромагнитному, антиферромагнитному и ферримагнитному поведению. 222 Гл. 3. Электроны в металлах Кинетическая энергия Плотность состоянии Кинетическая и магнитная энергия б Магнит- ный моменп} антипарал- лелен И (с пан параллелен)
'Магнитны и момент параллелен Н (спин анты- параллелен) Плотность состояний hhH Рис. 3.12. Плотность состояний (ось абсцисс), построенная как функция энергии электрона (ось ординат). Представлены две компоненты плотности состояний, соответствующие противоположным направлениям спина. Заполнение показано для некоторой конечной температуры, а — одинаковое заполнение обеих групп в отсутствие магнитного поля; б — неодинаковое заполнение в присутствии магнитного поля, приводящее к парамагнетизму Паули. ожидать, что спины внешних электронов, принадлежащих свободному электронному газу в металле, способны ориентироваться с образованием магнитного момента М, зависящего от приложенного поля. Для невырожденного электронного газа этот магнитный момент должен определяться классической функцией Ланжевена 18: М = %тН = щв1 disiioH/koT). (3.64) В магнитном поле, значительно меньшем, чем поле насыщения, L([XB[XoH/koT)^[iBiioHf3koT) поэтому магнитная восприимчивость %т не зависит от поля, однако зависит от температуры: %m = n\iB\i0/3k0T. (3.65) Такая зависимость, известная под названием закона Кюри, фактически ни в одном реальном металле не обнаруживается. На рис. 3.12 показаны те особенности вырожденного электронного распределения, которые приводят к парамагнетизму, не описываемому законом Кюри. На эти особенности в 1927 г. указал Паули. Паули заметил, что его принцип запрета разрешает двум электронам с противоположно направленными спинами находиться в одной точке k-пространства (т. е. иметь 18 Функция Ланжевена выводится в гл. 5. 3.3. Квантовая теория свободных электронов 223 одинаковые пространственные волновые функции). Следовательно, полную плотность состояний как функцию энергии можно представить в виде суммы двух компонент, каждая из которых соответствует половине величины g(s) [см. формулу (3.44)]. В отсутствие магнитного поля состояния, изображенные с одной стороны рис. 3.12, а, очевидно, должны быть заполнены так же, как состояния с другой стороны этого рисунка, соответствующие противоположному направлению спина. Если теперь приложить магнитное поле, то можно считать, что одно направление спина параллельно Н, а другое — анти- параллельно. Состояния каждого типа, изображенные на рис. 3.12, сдвигаются соответственно на величину ±[\в[ХоН от энергии, соответствующей нулевому полю, как показано на рис. 3.12, б. Тогда заполнение состояний с антипараллельным спином (с параллельным магнитным моментом), обладающих меньшей энергией, будет увеличиваться за счет уменьшения заполнения состояний с параллельным спином таким образом, чтобы сохранился общий электрохимический потенциал. В результате возникает положительный магнитный момент, или парамагнетизм. Следует отметить, что в приближении первого порядка намагниченность пропорциональна приложенному полю. Таким образом, магнитная восприимчивость %т является параметром, имеющим совершенно определенный физический смысл. Более того, на переход электронов из состояний с параллельным спином в состояния с антипараллельным спином почти не оказывает влияния небольшое тепловое размытие заполнения около энергии Ферми. Поэтому магнитная восприимчивость почти не зависит от температуры (что хорошо согласуется с данными эксперимента). Следовательно, мы можем просто вычислять %т при абсолютном нуле. Как видно из рис. 3.12, результирующий магнитный момент для этих двух групп электронов равен оо М = Хт# = (цв/2) I /(в)ЙГ(в+|1ц|*о#)—g (s—[iB[i0H)]de = —оо [(eF+nBn0H) (eF-|ifi|i0H) -i i г"Чг— J е'ОД]- = (Сцв/3) [(eF + ЦВЩЯ)3/2 -(eF-№# )3/2Ь (3.66) Во второй и третьей строках этого равенства плотность состояний для обоих направлений спинов записана в виде g(e) = = Сгч\ где, как видно из формулы (3.44), С= (1/2л2) (2т/Н2) . Замена пределов интегрирования и возможность опустить /(e) под знаком интеграла следуют из того, что при абсолютном 224 Гл. 3. Электроны в металлах нуле, для которого мы вычисляем интеграл, /(e) представляет собой ступенчатую функцию, изменяющуюся от единицы до нуля при энергии Ферми. Если \iBtioH<g.eF — условие, которое для обычных магнитных полей хорошо выполняется (см. задачу 3.13), результирующая парамагнитная намагниченность (3.66) принимает вид М = гтНъ Hv&VL&eP = #jiW(M. (3.67) Таким образом, парамагнитную восприимчивость можно выразить через величину g(eF) [так же как это было сделано для удельной теплоемкости (3.62)]: Xm=HBlhg{*F). (3.68) Вряд ли стоит удивляться, заметив, что эта величина соответствует магнитному действию тех электронов, энергия которых отличается не более чем на [хв\хоН от энергии Ферми. Поскольку эти электроны составляют лишь очень малую часть полного числа электронов, модель Паули правильно предсказывает, что магнитная восприимчивость (как и удельная теплоемкость) оказывается вырожденной, т. е. сильно уменьшенной по сравнению с ее классическим значением. Степень вырождения легко оценить, выразив величину %т через отношение m/sf. Из формулы (3.44) и (3.49) следует, что g(eF) = (1/2jx2) (2т//г2)3/2е}/2 = 3n/2eF. (3.69) Подставляя эту величину в формулу (3.68), мы получим для парамагнитной восприимчивости Паули выражение %т = Згц12В[1о12гРу (3.70) которое вырождено (уменьшено) в (2eF/9k0T)-1 раз по сравнению с результатом, даваемым классической функцией Ланже- вена (3.65). При выводе этого выражения для магнитной восприимчивости не было учтено влияние магнитного поля на поступательное движение свободных электронов. Для модели вырожденных свободных электронов такие эффекты впервые были рассмотрены Ландау в 1930 г. Более подробно они будут обсуждаться в разд. 3.5 в связи с циклотронным резонансом и осцилляцион- ными магнитными эффектами, а здесь отметим только, что магнитное поле накладывает ограничения на движение электронов в направлениях, перпендикулярных магнитному полю (сила Лоренца); это приводит к появлению диамагнитной восприимчивости вида —[Xb2[Xo^/2ef. Таким образом, диамагнитная восприимчивость компенсирует одну треть парамагнитной воспри- 3.3. Квантовая теория свободных электронов 225 имчивости, и суммарная магнитная восприимчивость, с учетом поправок Паули и Ландау, составляет Ъп= n\i2Bii0/eF. (3.71) Полученный результат находится в удовлетворительном согласии с не зависящими от температуры значениями магнитной восприимчивости, измеряемыми для простых металлов, например щелочных. Для большинства металлов для согласия формулы (3.71) с экспериментом требуется, чтобы электроны вели себя как частицы с эффективной массой, отличной от обычной массы электрона. Такая же перенормировка массы (которая влияет на плотность состояний, энергию Ферми при данном пит. д.) обычно требуется и для количественной интерпретации данных по электронной теплоемкости этих металлов. Только такой увеличенной плотностью состояний можно объяснить относительно большую удельную теплоемкость и магнитную восприимчивость переходных элементов.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Парамагнетизм Паули» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
