Удельная теплоемкость вырожденного электронного газа
Заинтересовавшись, как и многие другие авторы, приложением квантовомеханических представлений к макроскопическим системам, Арнольд Зоммерфельд14 применил к металлу модель свободных электронов. Он использовал при этом статистику Ферми — Дирака, а не Масквелла — Больцмана. Оказалось, что при обычных температурах энергия большей части электронов электронного газа в металле меньше энергии Ферми на несколько k0T или более. Эти электроны не могут испытать рассеивающего соударения, слабо изменяющего энергию, потому что все состояния с близкой энергией уже заняты, а их дополнительное заполнение запрещено принципом Паули15. Таким образом, только небольшая часть самых высокоэнергетичных электронов, составляющая примерно (4kQT/eF), способна реагировать на приложенный извне электрический или температурный градиент. Отсюда Зоммерфельд сделал вывод, что только электронные состояния, расположенные вблизи 8f, определяют свойства металла. Рассмотрим полную энергию электронного газа и ее производную по температуре, т. е. удельную электронную теплоемкость. При абсолютном нуле полная энергия электронного газа, согласно (3.44), минимальна и равна 14 Sommerfeld Л.—Naturwiss, 15, 824 (1927); Z. Physik, 47, 1 (1928). Обзор этих работ Зоммерфельда на английском языке см. в статье: Sommerfeld A., Frank N. Я.—Rev. Mod. Phys, 3, 1 (1931). 15 Электрон, находящийся в состоянии с малой энергией, лежащей намного ниже уровня Ферми, может быть рассеян в состояние со слабо отличающейся энергией, если другой электрон, первоначально занимавший это последнее состояние, одновременно будет Также рассеян в какое-то оказавшееся поблизости незанятое состояние (например, в первоначальное состояние первого электрона). Поскольку электроны неразличимы, такой обмен местами двух электронов, конечно, не дает наблюдаемого результата. Поэтому рассеяние электрона в состоянии с низкой энергией можно обнаружить только в том случае, если он поднимется и займет какое-нибудь пустое состояние вблизи энергии Ферми. Это не так легко осуществить с помощью электрического поля. Из-за неразличимости электронов рассеяние электрона с большим изменением энергии имеет ту же вероятность, что и многоэлектронный процессе, в котором все промежуточные электроны продвигаются на бесконечно малый шаг. Легко видеть, что вероятность такого процесса крайне мала 3.3. Квантовая теория свободных электронов 219 С помощью выражения (3.47) эту энергию можно записать в виде (A> = (3neF0/5). (3.55) Следовательно, в отсутствие теплового возбуждения на каждый электрон приходится средняя энергия (Зер-о/б). Электроны движутся с большими скоростями (как это видно из решения задачи 3.9), а при равновесии любому движущемуся электрону в любой момент времени в том же металлическом кристалле соответствует другой электрон, движущийся в противоположном направлении. Энергия электронов при любой температуре выше абсолютного нуля несколько превышает U0, потому что некоторые электроны оказываются термически возбужденными из состояний, лежащих несколько ниже 8f, в состояния выше е^. При любой конечной температуре U = J*g(B)f(B)<k = о оо 1 / 2т \з/2 Г e3/2de / 2m у/2 Г 2я2 V Л2 ) \ 1 + ехр о о \ k0T ) (3.56) в это выражение входит функция F3/2 (*/о)> принадлежащая семейству функций (3.50). Используя формулы (3.52) и (3.53), получаем сю \ e^de 2е5/2 Г. к / nknT Vl 2е«/п2 ■и-гел-т* 2ес«л х 1 Таким образом, энергия, определяемая равенством (3.56), равна „5/2 5я2 V Л2 J I т 12 V еР ) J = \и0+ ° , r«-f-. (3.58) 220 Гл. 3. Электроны в металлах Отсюда в первом приближении можно получить удельную электронную теплоемкость Се= (dU/dT)e= (я2п£о7/2еД (3.59) Сравним эту величину со значением Скл= (3nk0/2)y ожидаемым для классического электронного газа. Квантовые ограничения изменили вклад электронной теплоемкости в полную теплоемкость: Ce = (n*k0T/3sF)CKJl. (3.60) Этот результат часто формулируют в виде утверждения, что электронная теплоемкость в металле вырождена, т. е. уменьшена примерно в (8f/3&oT) раз по сравнению со своим классическим значением. Электронный газ, для которого k0T<^e,F, называют вырожденным газом16. Результат Зоммерфельда для электронной удельной теплоемкости (3.59) по величине и температурной зависимости согласуется с электронной компонентой удельной теплоемкости, реально наблюдаемой в металлах. Поскольку Се изменяется как первая степень абсолютной температуры, а решеточная теплоемкость зависит от температуры примерно как Т3, электронный вклад легче всего измерить при очень низких температурах. На рис. 3.11 представлена температурная зависимость полной удельной теплоемкости, имеющей вид суммы вкладов, рассчитанных Зоммерфельдом и Дебаем СР=АТ + ВТ*. (3.61) Как было указано в связи с рис. 2.21, каждое из двух слагаемых может быть определено раздельно по пересечению с осью ординат и наклону зависимости (Ср/Т) от Г2. Поскольку на измеряемые характеристики вырожденного электронного газа оказывают влияние только состояния, расположенные на расстояниях до нескольких k0T от уровня Ферми, представляется логичным выразить Се через параметры, непо- 16 Если два состояния системы (например, два возбужденных состояния атома) обладают одинаковой энергией, то их часто называют вырожденными. К сожалению, термин «вырожденные» может иметь два совершенно разных значения. В настоящем разделе он использован в том смысле, что электронная теплоемкость вырождается (деградирует) по сравнению с ее большим значением, ожидаемым на основании классических моделей. Из дальнейшего изложения будет ясно, что ряд других свойств также вырождается в результате квантовых ограничений, поэтому говорят, что в металле имеется «сильно вырожденный газ». В гл. 4 увидим, что электронный газ в полупроводниковом материале может быть как вырожденным, так и невырожденным в зависимости от того, достаточно ли число подвижных электронов для того, чтобы стали существенными квантовые ограничения их движения. 3.3. Квантовая теория свободных электронов 221 Рис, 3.11. Сложение удельной электронной теплоемкости Се и удельной теплоемкости решетки Ci металла при низких температурах. Согласно теории Дебая, Ct изменяется как Г3, а Се для вырожденного электронного газа линейно зависит от Т. 1 5 // 1 / / (c,*ct) / j У А L^---^ О Температура, К средственно связанные именно с этой областью электронных энергий. Так, удельную электронную теплоемкость можно выразить через плотность состояний g^tw) при энергии Ферми (см. задачу 3.12): Ce=(n2/3)klTg(BF). (3.62) Эта величина эквивалентна классической электронной теплоемкости, которая равна (3&0/2) на электрон для всех электронов, находящихся в интервале энергий, отличающихся от энергии Ферми на величину, слегка превышающую koT.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Удельная теплоемкость вырожденного электронного газа» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
