Как уже отмечалось, Пайерлс35 пришел к заключению, что N-процессы сами не могут термализовать неравномерное распределение фононов. Тогда вполне логично при обсуждении вопросов, связанных с теплопроводностью, не рассматривать Л7-процессы и принимать во внимание лишь {/-процессы (с участием 3-х или более фононов) и различные типы рассеяния на дефектах. Для большинства материалов это действительно так во всем температурном интервале, и все же может возникнуть ряд условий, при которых наличие N-процессов меняет ситуацию таким образом, что одно событие становится вероятнее другого. Такая возможность обнаруживается при описании явлений переноса фононов с помощью кинетического уравнения Больцмана39. Мы вернемся к уравнению Больцмана в гл. 3 при рассмотрении кинетических свойств электронов. Подробное исследование метода кинетического уравнения Больцмана показало40, что N-процессы действительно не играют роли, если среднее расстояние, на которое распространя- 39 Кинетическое уравнение Больцмана используется при рассмотрении явлений переноса в любых статистических системах. Первоначально оно было выведено для описания кинетических свойств молекулярных газов. (Серьезный обзор этих вопросов дан в книге: Harris S. An Introduction to the Theory of the Boltzmann Equation. Holt, Rinehart, Winston, 1971.) Уравнение Больмана использовалось для описания кинетических свойств электронного газа еще со времен появления модели Лорентца в 1905 г. (см. разд. 3.2). Для описания потока фононов оно стало использоваться гораздо позже. Фактически впервые такое описание применили Займан [Ziman J. М. Canad J. Phys., 34, 1256 (1956)] и Каллауэй [Callaway /.—Phys. Rev. 113, 1046 (1959)]. Эти вопросы обсуждаются в гл. 8 книги Займана: Ziman J. М. Electrons and Phonons, Oxford, 1960. [Имеется перевод: Займан Дж. Электроны и фононы.—М.: ИЛ, 1962.] 40 Гуржи Р. Н.— ЖЭТФ, 1964, т. 46. с. 719, см. также: Guyer R. А., Krumhansl /. Л.—Phys. Rev., 148, 778, 1966. j i I L 178 Гл. 2. Динамика решетки ется фонон до (/-столкновения, мало по сравнению с размерами образца или кристаллита. При достаточно высоких температурах, когда реализуется такая ситуация, мы можем сказать, что перенос фононов напоминает течение довольно плотной жидкости по трубе, причем N-процессы играют роль упругих столкновений между молекулами, а {/-процессы — неупругих столкновений, приводящих к вязкому торможению. Как мы уже видели, в противоположном предельном случае очень низких температур поток фононов напоминает течение сильно разреженной жидкости. Если в среде нет значительного рассеяния на статических дефектах, то поток фононов аналогичен кнудсеновскому (баллистическому) течению, причем большинство столкновений происходит со стенками. При самых низких температурах диаметр образца D мал по сравнению со средним пробегом фонона между столкновениями с участием (/-процессов (Аи) или N-процессов (An), поскольку число фононов с любой энергией вообще очень мало. Однако при сверхнизких температурах величина Аи должна быть значительно больше An, поскольку в (/-процессах должны участвовать фононы больших энергий, а N-процессы представляют собой ангармоническое взаимодействие фононов любой энергии. Как было отмечено раньше, при низких температурах вероятность (/-процесса меняется как ехр (—QJT), т. е. более резко, чем вероятность Af-процессов, которая пропорциональна Г5. Таким образом, должен существовать ограниченный температурный диапазон, для которого A„«D«Aa. (2.81) При наличии заметного рассеяния на дефектах в этой температурной области ничего примечательного не происходит. Но если рассеяние на дефектах свести к минимуму, единственными эффектами, приводящими к сопротивлению, являются столкновения со стенками, хотя гораздо чаще происходят столкновения, не приводящие к сопротивлению (Af-процессы). При таких условиях поток фононов аналогичен пуазейлевскому течению жидкости, а перемещение фонона представляет собой случайное блуждание, как и броуновское движение. Исследование этой проблемы как задачи о случайном блуждании (см. задачу 2.18) показывает, что в среднем фонон между последовательными столкновениями со стенками преодолевает путь длиной порядка (D2/AN). Таким образом, найденная из экспериментов по измерению теплопереноса средняя длина пробега оказывается больше диаметра образца и возрастает до тех пор, пока Af-процессы не становятся более частыми! Верхний предел средней длины свободного пробега (и теплопроводности) достигается при температурах, достаточно высоких для того, 2.5. Теплопроводность 179 Рис. 2.28. Температурная зависимость теплопроводности кристаллического 4Не, имеющего г. п. у.-решетку [Межов-Дег- лин Л. П. —ЖЭТФ, 1965, т. 49, с. 66] (кривая построена в двойном логарифмическом масштабе, причем масштаб по вертикальной оси уменьшен в три раза). Для поддержания 4Не в твердом состоянии создавалось давление 85 атм. Максимальному значению теплопроводности соответствует средняя длина свободного пробега фононов, равная 7 мм, диаметр кристалла 2,5 мм. т, к чтобы ^/-процессы могли конкурировать с рассеянием на границах. При дальнейшем нагревании проводимость резко падает, а затем выходит на обычную зависимость для (/-процессов. Неравенства (2.81) должны выполняться для всех материалов в ограниченной температурной области. Однако пуазейлев- ское течение будет наблюдаться только в тех случаях, когда рассеяние на дефектах в том же температурном интервале достаточно мало. Последнее условие не выполняется в LiF, данные для которого представлены на рис. 2.25. Вследствие этого теплопроводность уц плавно возрастает с температурой по кубическому закону до тех пор, пока (/-процессы не начинают превалировать примерно при 20 К. Пуазейлевское течение может быть в LiF (или другом диэлектрике, который можно изготовить в виде монокристалла), имеющем исключительно высокую изотопическую чистоту, бездефектную кристаллическую структуру и очень низкое содержание примесей. Легче всего этот набор условий выполняется в твердом гелии, поскольку термодинамические свойства гелия позволяют довольно легко удалить примеси, а существование сверхтекучей фазы 4Не дает возможность привести достаточно полное разделение изотопов. На рис. 2.28 приведена экспериментальная зависимость х*(Г) для кристалла 4Не с г. п. у.-структурой, кристаллизованного и сохраняемого в кристаллическом состоянии при давлении 85 атм. Низкотемпературное поведение Л описывается моделью Казимира для рассеяния на границах, а именно средняя длина свободного пробега имеет порядок диаметра образца, а теплопроводность (как и Cv) меняется 0,3 0,6 1 2 3 180 Гл. 2. Динамика решетки пропорционально Р. Это область кнудсеновского течения. Однако при нагревании выше 0,6 К теплопроводность тц начинает возрастать быстрее, достигая максимума примерно при 1,0 К. В интервале от 0,6 до 1,0 К поведение х/ соответствует пуазейлевскому течению, причем переносу фононов способствуют Af-процессы. Нужно заметить, что в этом малом температурном интервале х*~Р, как и должно быть, поскольку Cv~ (f/9p)3, a An~ (T/Qd)~5. При 1 К полученная «средняя длина свободного пробега» в три раза больше диаметра кристалла, но при дальнейшем нагреве средняя длина свободного пробега (и теплопроводность) падает, поскольку определяющими становятся ^/-процессы. Мы кратко обсудили интересную, хотя и не совсем ясную роль N-процессов в теплопроводности. Можно полагать, что в низкотемпературной области возможно различное их проявление. Например, возможность пуазейлевского течения связана с возможностью передачи без существенного затухания теплового импульса — второго звука. Явление второго звука хорошо известно в сверхтекучем жидком гелии; оно наблюдалось также в твердом 4Не41. Вероятно, второй звук возможен и в других твердых телах, для которых отношения вероятностей различных процессов рассеяния благоприятствуют его наблюдению.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Влияние N-процессов на теплопроводность» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
