Представим себе одномерный кристалл, изображенный на рис. 2.9. Он отличается от кристалла, изображенного на рис. 2.2, только тем, что в нем чередуются атомы с массами М и /л. Предположим, что т<М. Если теперь в кристалле возбуждается продольное возмущение, распространяющееся вдоль цепочки, колебания двух сортов атомов обычно имеют различные амплитуды u2r = А exp {i[2kra—со/]), u2r+1=Bexp[i[(2r+\)ka—at]). (2.28) Предположим, что возвращающая сила обусловлена только ближайшими соседями и что смещения не выходят за пределы упругой области, в которой применим закон Гука. Тогда уравнения Ньютона для смещений и2г и и2г+\ можно записать в таком же виде, как и уравнения (2.7) и (2.9) для линейной одноатомной цепочки —т<й2и2г = т (d2u2rldt2) = \i [и2г+г + и2г^г—2и2г], ^-M(d2u2r+l = M (d2u2r+l/dt2) = [х [и2г+2 + и2г—2и2г+1]. (2.29) Рис. 2.9. Последовательность соседних атомов в линейной двухатомной цепочке. Масса т атомов меньших размеров меньше массы М больших атомов. Следует заметить, что размер элементарной ячейки, которым определяется размер зоны Вриллюэна, в этом случае равен 2а. 2.3. Колебательный спектр решетки с базисом 139 Подставляя (2.28) в (2.29), получаем два совместных уравнения: —та)2А = |хВ [exp (ika) + ехр (—ika)\ — 2\iA, —М(о2В = |хЛ [ехр (ika) + ехр (—ika)]—2[iBy (2.30) которые можно представить в следующем виде: А (2|х—ma)2) = 2|хВ cos (ka), В (2|х—Ma)2) - 2[хЛ cos (ka). (2.31) Исключив Л и В из этих уравнений, получим зависимость между k и о, т. е. дисперсионное соотношение: (2|х—mo2) (2fx — Мсо2) - 4ti2 cos2 (ka), (2.32) откуда находим «■^(J. + J-Wrf^^ (2.33) Для линейной одноатомной цепочки, как было показано, существуют одно решение для k>0 (волна, бегущая вправо) и одно для k<0 (волна, бегущая влево). В рассматриваемом случае данному к даже в положительном квадранте соответствуют два решения для со. Спектр частот w(fe) является двузначной функцией к; он приведен на рис. 2.10. Нижняя ветвь спектра на рис. 2.10 описывается формулой (2.33) с отрицательным знаком. Эта ветвь обычно называется акустической ветвью, она соответствует спектру, который уже был получен нами для одноатомной цепочки, за исключением двух следующих особенностей. 1. Для любой совокупности смещений в цепочке, состоящей из атомов двух видов, абсолютная величина волнового вектора не превышает (я/2а), в то время как для одноатомной линейной цепочки граница зон Бриллюэна лежит в точках ± (я/а). Это связано с тем, что в двухатомной цепочке размеры зоны Бриллюэна определяются периодом 2а, а не расстоянием между ближайшими соседями. 2. Из формулы (2.33) следует, что максимальная возможная угловая частота акустических колебаний равна <о1 = (2ц/Л*)1>2 (2.34) и не зависит от массы более легких атомов в цепочке. Последнюю особенность можно понять, если рассмотреть зависимость отношения амплитуд колебаний двух сортов атомов от частоты. Из уравнений (2.31) получаем Амплитуда тяжелых атомов М __ В 2;х — тсо2 2ц cos (ka) Амплитуда легких атомов пг Л 2(л cos (ka) 2(л — Мсо2 (2.35) 140 Гл. 2. Динамика решетки я/2а Рис. 2.10. Дисперсионные кривые для продольной волны, распространяющейся в линейной двухатомной решетке. Первая зона Бриллюэна охватывает область k-пространства, для которой |к|^я/2а. Нижняя кривая (которую можно сравнить с кривой на рис. 2.3) является акустической ветвью, а верхняя — оптической ветвью колебательного спектра. Таким образом, отношение амплитуд почти равно единице (все атомы движутся одинаково) в случае длинных волн и низких частот, т. е. для акустических волн, для которых выполняются следующие условия: волновой вектор 1 к К (я/2а), 2цл2 ii/2 скорость 1*0 = г 2[ial у I М + пг J (2.36) M + tn угловая частота со = kv0 <^'(2|х/М),/2. При увеличении к и со в акустической ветви возрастает крайняя правая часть равенства (2.35), при этом возрастает также и отношение В/А. В предельном случае, когда волновой вектор к = ± (я/2а), угловая частота o> = (d1 = (2iji/M)i/2, фазовая скорость со/& = (8ц,а2/яаМ)1/2, групповая cKopocTb'dco/dfe = 0, получаем, что В/Л-^оо при co->coi. Это означает, что амплитуда Л должна быть равна нулю независимо от величины В. Поскольку более легкие атомы не движутся в предельном режиме колебаний на частоте соь не удивительно, что величина m не входит в выражение (2.34) для соь (2.37) 2.3. Колебательный спектр решетки с базисом 141 Заметим, что в некотором интервале частот, превышающих угловую частоту соь не существует решений для вещественных к. Аналогичную ситуацию мы имеем в случае одноатомной цепочки для всех частот выше cow. Область частот, соответствующих комплексным значениям к, образует запрещенную зону, поскольку любая волна, возбуждаемая на частоте, лежащей в этом диапазоне, будет сильно затухать. Выражение (2.33) и рис. 2.10 указывают на другую интересную особенность: в двухатомной цепочке существует второй диапазон разрешенных частот — область оптических мод колебаний.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Нормальные колебания линейной двухатомной цепочки» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
