Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Фізика твердого тіла

Линейная одноатомная цепочка

Плоскую волну, распространяющуюся в однородном
твердом теле вдоль оси х, можно записать в виде
и = А exp [I (fee—со/)], (2.5)
L-_
-
1
3NAk,
/
J-^s.
1 1 1
К
^^^^^' Sn
^-^ cTT
! i 1 i 1
2.2. Колебательные моды одноатомной решетки 123
Рис. 2.2. Пять соседних атомов в линейной одноатомной решетке, а — атомы
находятся в равновесных положениях; б — атомы смещены вследствие
прохождения продольной волны.
где и — смещение, А — амплитуда, k — волновой вектор и о —
угловая частота. Рассмотрим линейную цепочку одинаковых
атомов (рис. 2.2), имеющих массу m и расположенных на
расстоянии а один от другого. Для этой последовательности
атомов создаваемое волной (2.5) смещение и имеет смысл только
в точках расположения атомов и не имеет смысла в
промежуточных точках х. Таким образом, смещение r-го атома
запишется в виде
иг = А ехр [I (kra—at)]. (2.6)
Дифференцируя это выражение два раза, получаем ускорение
r-го атома:
d2ur/dt2 = — соМ ехр [*' (kra—af)] = — (*2иг. (2.7)
Согласно второму закону Ньютона, возвращающую силу,
действующую на г-й атом, можно записать в виде
Fr = m (d*ur/dt2) =-- —m(o2ur. (2.8)
Для установления связи между со и k эту возвращающую
силу необходимо выразить через силовую постоянную,
характеризующую смещения атомов в кристаллической решетке.
Для этого представим нашу линейную цепочку в виде
шариков, связанных пружинками. В этой модели возникающая при
124
Гл. 2. Динамика решетки
растяжении или сжатии возвращающая сила, действующая на
атом, линейно зависит от расстояния до ближайших соседей
(с коэффициентом пропорциональности |i) и не зависит от
положения более удаленных атомов. На первый взгляд кажется,
что эта модель не может соответствовать сложному квантово-
механическому характеру взаимодействия между атомами.
Однако следует напомнить, что для большинства твердых тел
в случае малых деформаций выполняется закон Гука,
устанавливающий линейную связь между смещением и приложенной
силой.
В приближении закона Гука сила, действующая на г-й
атом на рис. 2.2, имеет вид
Fr = \1\иг+г—иг)—\х(иг—иг-г) = \i (иг+1 + иГ_г—2игу (2.9)
Сравнивая этот результат с выражением (2.8), получаем
со2 = (|i/m) [2—(ur+1lur)—{иг_г1иг% (2.10)
Подставляя сюда выражение (2.6) для смещения, последнюю
формулу можно переписать в виде
со2 = (\i/m) [2—exp (ika\—ехр (—ika)] = 2 (\i/tn) [1 —
—cos (ka)] = 4 (|i/m) sin2 (ka/2). (2.11)
Таким образом, дисперсионное уравнение для продольных
волн, которые могут распространяться в линейной
одноатомной цепочке, при учете взаимодействия только с ближайшими
соседями запишется как
со = ± 2 (ц/m)1/2 sin (ka/2) = ± <om sin (ka/2). (2.12)
Знаки плюс и минус в выражении (2.12) отвечают волнам,
распространяющимся в противоположных направлениях.
Движение в любой точке решетки является периодическим во
времени.
На рис. 2.3 представлена дисперсионная кривая,
построенная в соответствии с уравнением (2.12). Эта кривая
качественно подобна той, которую можно получить с учетом
зависимости возвращающей силы от расстояний не только до
ближайших, но и до более удаленных соседей (см. задачу 2.1).
В качестве независимой переменной на рис. 2.3 вместо
длины волны X выбран волновой вектор к, что более удобно
(как мы увидим при разборе других задач физики твердого
тела). Область малых к соответствует спектральному
диапазону (длинных волн, для которых вполне годится
макроскопическое рассмотрение распространения звуковых волн. В
случае когда &а<1, мы можем положить sin (ka/2) ж ka/2. При
2.2. Колебательные моды одноатомной решетки 125
-Зж/2а -ж/а -л/2а
ж/2а ж/а 3jt/2a
Рис. 2.3. Дисперсионная кривая для продольной волны, распространяющейся
в линейной моноатомной решетке; получена с учетом взаимодействия только
ближайших соседей [выражение (2.12)]. Область k-пространства, для
которой |к|^я/а, образует первую зону Бриллюэна. По оси ординат отложена
безразмерная частота в единицах максимальной угловой частоты, для
которой величина к вещественна, C0m=2(|ui/m)^ =2(v0/a). Поскольку звуковые
волны в кристаллах распространяются, как правило, со скоростью 0О«
«5000 м/с, эта максимальная угловая частота имеет порядок 1014 рад/с.
этом соотношение между угловой частотой и волновым
вектором принимает вид
оо ttv0k> (2.13)
v0 = abi/m)1'2 (£я<1).
В области больших длин волн или низких частот дисперсия
отсутствует, так что фазовая скорость co/fe и групповая
скорость dw/dk совпадают и оказываются равными скорости
звука v0. Скорость v0 = a(\i/m)l/2t полученная для больших
длин волн согласно этой модели, полностью согласуется с
выражением (2.1) для непрерывной упругой среды, поскольку
в одномерном случае т/а равна плотности, а а\х — модулю
объемной упругости. Для трехмерного кубического кристалла р =
= т/а*, a Bs = \ifa.
Даже в рамках грубой одномерной модели, если известна
скорость v0 обычных звуковых волн в твердом теле, то можно
рассчитать межатомный коэффициент жесткости по формуле
[л «tn(v0/a)2
(2.14)
и, следовательно, модуль объемной упругости Bs = ^ja или
сжимаемость K=l/Bs. При составлении табл. 2.1 мы решали и
обратную задачу, а именно по измеренным значениям Bs были
вычислены значения v0.
Рассматриваемое на данном этапе низкочастотное
приближение справедливо вплоть до частот 1012 Гц или около того,
126
Гл. 2. Динамика решетки
что перекрывает так называемый «акустический» или
«ультразвуковой» диапазон частот, в котором работают
экспериментальные монохроматические установки. Однако из рис. 2.3 мы
видим, что по мере перехода ко все более коротким волнам
величина со достигает предельного значения com= (2ji/m)1/2 =
= 2vQ/a, когда | k | = jc/a, и что в области промежуточных
частот наблюдается сильная дисперсия скорости звука. В общем
виде зависимости фазовой и групповой скоростей от к имеют
вид соответственно
,, г sin(W2) I
vg = дю/dk = v0 cos (ka/2). (2.15)
При рассмотрении теории теплоемкости Дебая (разд. 2.4) мы
увидим, что при выборе функциональной зависимости
скорости от волнового вектора иногда допускается некоторый
произвол.
Групповая скорость обращается в нуль, когда соседние
атомы движутся в противофазе, что происходит при к=±я/а
или при длине волны Х=2а. Не имеет смысла описывать
прохождение волны, обеспечивающей сдвиги фаз между
колебаниями соседних атомов, превышающие 180°. Поэтому не имеют
физического смысла значения к, для которых |к|>я/а
(участки кривой на рис. 2.3, изображенные штриховой линией).
Нетрудно убедиться в том, что смещения атомов,
удовлетворяющие выражению (2.6) для волновых векторов к, абсолютные
значения которых больше я/a, полностью эквивалентны
смещениям с любым другим волновым вектором к', который
удовлетворяет равенству k,=k + G, где G — вектор обратной
решетки3. Таким образом, первая зона Бриллюэна содержит
полный спектр.
Из этих замечаний очевидно, что волна, соответствующая
границе зоны Бриллюэна, т. е. условию |к|=я/а, является
стоячей волной, а не бегущей. Ее длина волны удовлетворяет
условию брэгговского отражения на угол 180°. В дальнейшем
мы увидим, что в случае двумерного или трехмерною
кристалла возбуждения (такие, как фононы или электроны)
также испытывают брэгговское отражение, если их волновой
вектор упирается в границу зоны Бриллюэна. В случае более
чем одного измерения волна с волновым вектором к, соответ-
3 Напомним (см. разд. 1.5), что вектор обратной решетки G соединяет
эквивалентные точки в двух зонах Бриллюэна. Для рассматриваемого нами
одномерного кристалла вектор обратной решетки G кратен 2я/а, а первая
зона Бриллюэна простирается от к=—л/а до к=л/а. В реальных
кристаллах максимальная величина к имеет порядок 1010 м-1, а максимальная
угловая частота ©w«1014 рад/с.
2.2. Колебательные моды одноатомной решетки 12?
ствующим границе зоны Бриллюэна, в реальном пространстве
должна иметь нулевую компоненту групповой скорости в
направлении, перпендикулярном границе зоны Бриллюэна
(представляющей собой линию или поверхность в пространстве
волновых векторов к).
Волна, у которой угловая частота больше, чем сот = 2ао/я,
не может распространяться в воображаемом одномерном
кристалле, поскольку в соответствии с выражением (2.12) она
должна иметь комплексное значение волнового вектора.
Наличие мнимой компоненты волнового вектора приводит к
сильному затуханию волны. Таким образом, волны, для которых
(0>(0т, лежат в запрещенной области частотного спектра. Мы
убедимся, что этот вывод вполне справедлив и для реальных
трехмерных кристаллов. Однако, прежде чем перейти к
обсуждению колебаний атомов в трехмерных кристаллах,
обобщим некоторые из понятий, которыми мы до сих пор
пользовались.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Линейная одноатомная цепочка» з дисципліни «Фізика твердого тіла»