Рассмотрим, какому геометрическому условию необходимо удовлетворить, чтобы кристалл мог эффективно рассеивать кол- лимированное монохроматическое излучение. Это условие должно удовлетворяться для любого типа излучения — рентгеновского, пучка электронов или нейтронов (а также для других частиц с корпускулярно-волновыми свойствами). В 1913 г. У. Л. Брэгг предложил простую формулировку и получил простое математическое выражение необходимого условия дифракции волн на серии параллельных (атомных) плоскостей. Это условие нельзя считать строгим, поскольку Брэгг рассматривал отражение от каждой атомной плоскости в отдельности, используя законы геометрической оптики без учета эффектов физической оптики (дифракции Фраунгофера), ведущих к дифракционному усилению отраженной волны. Тем не менее следует заметить, что формула (1.33), полученная Брэггом, совпадает с результатами более точных рассмотрений Лауэ [выражение (1.55)] и Эвальда [выражение (1.52)]. Последний использовал в доказательстве понятие обратной решетки (см. разд. 1.5). Следует сразу же обратить внимание на одно важное различие между дифракцией света на плоской дифракционной решетке и дифракцией рентгеновских лучей на кристалле. В первом случае угол падения не равен углу, под которым распространяется дифрагированное излучение. Существует взаимосвязь между этими двумя углами, длиной волны падающего света К и расстоянием между соседними штрихами плоской дифракционной решетки. Согласно условию дифракции Брэгга, угол падения равен углу отражения (т. е. отражение является зеркальным). Из этого условия следует также, что максимальное отражение наступает при выполнении опреде- 1.4. Дифракция в кристаллах 81 Рис. 1.40. Зеркальное отражение параллельного пучка рентгеновских лучей (нейтронов и т. д.) от двух последовательных атомных плоскостей в кристалле. Первая плоскость не обязательно должна совпадать с границей кристалла и может быть не параллельна ей; важно лишь, чтобы эта плоскость имела достаточно большую плотность атомов. Распределение атомов в плоскости несущественно. Для интерференционного усиления разность хода лучей должна быть равна целому числу длин волн. ленных соотношений между углом падения, длиной волны и расстоянием между двумя параллельными плоскостями. При этом закон Брэгга совершенно не учитывает расположения атомов в отдельной отражающей плоскости. Предположим, что на кристалл падает пучок параллельных монохроматических рентгеновских лучей (рис. 1.40), которые взаимодействуют со всеми атомами в объеме, соответствующем глубине их проникновения в кристалл. Рассмотрим взаимодействие рентгеновского излучения с семейством параллельных атомных плоскостей, составляющих с пучком угол 9. В результате взаимодействия с первой из этих плоскостей появляется зеркально отраженный под углом 0 луч, который будет весьма слабым, если рентгеновские лучи проникают достаточно глубоко внутрь образца. Кроме того, поскольку первая плоскость имеет периодическую структуру, она, очевидно, действует на рентгеновское излучение как двумерная решетка, благодаря чему появятся слабые лучи, отраженные от первой плоскости под углами cpm, соответствующими различным порядкам дифракции. Для второй и всех последующих плоскостей также появятся компоненты под углами, соответствующими зеркальному отражению и дифракционному отражению различных порядков. Поскольку рентгеновские лучи могут проникать очень глубоко в кристалл и выявлять при этом отдельные слабые отклики 82 Гл. 1. Кристаллическая структура и форма твердых тел от нескольких тысяч следующих друг за другом плоскостей, очевидно, что вследствие интерференции с ослаблением для большинства углов падения рентгеновского излучения на множество рассматриваемых плоскостей не возникнет четко определенного отраженного пучка. Однако если разность хода между лучами, отраженными от различных плоскостей, кратна длине волны падающего излучения, то будет иметь место интерференция с усилением. Из рис. 1.40 видно, что разность хода между лучами, отраженными от первой и второй плоскостей, равна 2d sin 0. Таким образом, условие эффективного зеркального отражения (условие Брэгга) запишется в виде 2dsin8 = nX, (1.33) где п — целое число. Как уже отмечалось выше, это соотношение зависит только от расстояния между плоскостями и не зависит от расположения атомов в каждой из плоскостей. Естественно, возникает вопрос, можно ли записать условие, обеспечивающее интерференцию с усилением лучей, отраженных под одним из углов фт, соответствующих дифракционным максимумам m-го порядка при отражении от первой плоскости. В уравнение, определяющее это условие, должны входить как расстояние между плоскостями d, так и расстояние между рядами атомов на плоскости. Такое условие действительно существует, и его можно рассматривать как условие Брэгга * для зеркального отражения от некоторого другого семейства параллельных плоскостей, расположенных по отношению к исходным под определенным углом. Этот вопрос рассматривается в задаче 1.14. Из сказанного выше ясно, что монохроматическое рентгеновское излучение, падающее на кристалл под произвольными углами, вообще говоря, отражаться не будет. Необходимо найти такую комбинацию длины волны и угла падения, для которой условие Брэгга выполняется, набор таких последовательных комбинаций позволяет получить информацию о пространственном расположении плоскостей и, следовательно, представление о структуре конкретного кристалла. Для однозначного определения расстояния d между плоскостями с индексами Миллера (hkl) нужно иметь как можно больше данных. Нетрудно показать (что и требуется в задаче 1.15), что для кубической решетки с элементарной ячейкой размером а в каж- * Это условие называется также условием Брэгга — Вульфа, поскольку независимо от Брэгга тоже в 1913 г. оно было установлено Г В Вульфом.— Прим. ред. 1.4. Дифракция в кристаллах 83 дом направлении расстояние между соседними плоскостями с индексами (hkl) равно d = a(h?+k*+l2)-V2. (1.34) Для того чтобы получить компактное выражение, эквивалентное (1.34), в более общем случае трехмерной пространственной решетки, необходимо использовать обозначения обратной решетки, о которых пойдет речь в разд. 1.5. Как отмечалось выше, условие Брэгга является необходимым, но недостаточным условием эффективного зеркального отражения от кристалла. Качество дифракционной картины, получающейся при отражении от определенных плоскостей {hkl), зависит как от атомного фактора рассеяния (или форм- фактора) для атомов, из которых состоят эти плоскости, так и от того, разрешено ли отражение с точки зрения структурного фактора.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Условие дифракции Брэгга» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
