Трехмерные кристаллические системы, точечные группы и пространственные группы
В трехмерном пространстве наиболее общим типом решетки является триклинная решетка, у которой простейшая примитивная ячейка имеет вид параллелепипеда с отличными от прямых Nussbaum A. Semiconductor Device Physics, Prentice-Hall, 1962, cli. 5. Buerger Af. /. Contemporary Crystallography, McGraw-Hill, 1970, ch. 1. 56 Гл. 1. Кристаллическая структура и форма твердых тел L/V4 /\Л< >'Д кубическая Р Кубическая I Кубическая F Тетрагональная Р Тетрагональная I 4v /7\ \ Ы-^Р Ромбическая Р Ромбическая С Ромбическая I Ромбическая F v=$ МоноклиннаяР Моноклинная! Триклинная Тригональная fi Триеональная и гексагональная Р Рис. 1.21. Наиболее естественные элементарные ячейки для четырнадцати возможных трехмерных решеток Браве. Для семи решеток используются непримитивные ячейки (Kittel С. Introduction to Solid State Physics, Wiley, 1971. [Имеется перевод: Киттель Ч. Введение в физику твердого тела.— М.: Наука, 1978.]) углами и примитивными векторами a, b и с разной длины. При выполнении некоторых специальных соотношений между сторонами и углами ячейки получаются 13 «особых типов решеток», т. е. всего 14 трехмерных решеток Браве. Эти решетки представлены на рис. 1.21 либо примитивными ячейками, либо непримитивными, если последние лучше выявляют свойства симметрии. Из табл. 1.6 видно, как 14 решеток можно разде- 1.1. Операции симметрии 5? Таблица 1.6. Семь трехмерных кристаллических систем и четырнадцать решеток Браве Система Триклинная Моноклинная Ромбическая Тетрагональная Кубическая Тритональная или ромбоэдрическая Гексагональная Ограничения, накладываемые на размеры и углы в стандартных элементарных ячейках афЪ Фс аФ^Фу афЬфс а = у = 90° ф р а ф b Ф с a = Р = У = 90° а= b Ф с а = р = у = 90° a— b = с a = р = у = 90° a = b = с 120°>a= р= уф Ж а = Ь Фс 1 a = р = 90°, у = 120° Решетки Браве, совместимые с системой Р (примитивная) Р (примитивная) / (объемно-центрированная) Р (примитивная) С (базоцентрированная) / (объемно-центрированная) F (гранецентрированная) Р (примитивная) / (объемно-центрированная) Р (примитивная или простая кубическая) / (объемно-центрированная) F (гранецентрированная) R (ромбоэдрическая примитивная) Р (примитивная ромбоэдрическая) лить на семь кристаллических систем *. Элементарные ячейки для этих семи систем получаются последовательными нарушениями кубической симметрии, как показано на рис. 1.22. Подробное обсуждение симметрии, свойственных семи кристаллическим системам и тридцати двум трехмерным точечным группам, заняло бы непозволительно много места в данной книге22. Для наших целей вполне достаточно лишь заметить, * Для разделения кристаллов по конфигурации их элементарной ячейки в кристаллографии наряду с термином «система» используется также термин «сингония».— Прим. ред. 22 Для более подробного изучения см. библиографию в конце гл. 1 (в частности, книгу Мегау). Некоторые аспекты этой проблемы рассматриваются с весьма интересных позиций в гл. 5 книги: Nussbaum A. Semiconductor Device Physics, Prentice-Hall, 1962. 58 Гл 1 Кристаллическая структура и форма твердых тел Рис. 1.22. Семь трехмерных кристаллических систем, полученных последовательными искажениями кубической симметрии [Nussbaum A. Semiconductor Device Physics, Prentice-Hall, 1962]. 1.2. Операции симметрии 59 что каждая из 32 точечных групп симметрии оказывается совместима с одной и только с одной из семи кристаллических систем. Из 32 точечных групп две связаны с триклинной решеткой, три — с моноклинной, три — с ромбической, семь — с тетрагональной, пять — с кубической, пять — с тригональной, а остальные семь — с гексагональной. Непосредственное сравнение этих 32 точечных групп с соответствующими решетками Браве приводит к существованию 73 «простых» трехмерных пространственных групп. Но это еще не все; при добавлении сложных операций симметрии возникает еще 157 дополнительных сложных пространственных групп. Таким образом, всего существует 230 трехмерных пространственных групп или «структур». Несмотря на такое многообразие, большинство важных и хорошо изученных кристаллов характеризуется небольшим числом относительно простых структур. Сто пятьдесят семь дополнительных пространственных групп возникает при рассмотрении сложных элементов симметрии, определяемых операциями скольжения и винтового поворота. Операция скольжения уже обсуждалась нами в связи с определением числа двумерных плоских групп и иллюстрируется рис. 1.20. Операция винтового поворота, имеющая смысл только в трехмерном пространстве, представляет собой трансляцию, сопровождающуюся поворотом на такой угол (60, 90, 120 или 180°), чтобы сохранилась инвариантность структуры. Эта операция продемонстрирована на простом примере кристаллической структуры теллура на рис. 1.6. На первый взгляд решетка теллура представляется гексагональной, однако при более внимательном рассмотрении видно, что существование винтовой оси вдоль каждой спиральной цепочки нарушает принцип гексагональной симметрии. Структура остается инвариантной (т. е. кристалл переходит в самого себя) при повороте на 120° и последующей трансляции на одну треть вектора с. Такая же комбинация— трансляция с поворотом на 120° является необходимым элементом симметрии синтетического кристаллического полимера изотактического полистирола, который имеет спиральную цепочку вида (СНгСН)п с присоединенными фенильными группами, по три группы на каждый виток спирали23. 23 Выше мы уже упоминали о спиральных структурах в связи с водородными связями в двойной спирали ДНК. Имеет ли молекула ДНК винтовую симметрию? На этот вопрос можно дать следующий ответ: внешне имеет, но если говорить о деталях, то для молекулы ДНК нарушается первое условие этого раздела, согласно которому кристалл должен быть бесконечным повторением одинаковых блоков. Синтетические полинуклеотиды могут быть составлены из бесконечной последовательности идентичных азотных оснований, но в природной молекуле ДНК существует сложное апериодическое чередование четырех оснований, несущих генетическую информацию. Таким образом, «кристалл» ДНК или другого важного биологического вещества 60 Гл. 1. Кристаллическая структура и форма твердых тел Необходимо напомнить, что в кристаллографии термины «структура» или «пространственная группа» не эквивалентны кристаллу, а обозначают совокупности математических точек, каждой из которых поставлена в соответствие группа атомов с данной симметрией. Два кристалла могут иметь одну и ту же структуру, даже если базис одного из них состоит всего из двух или трех атомов, а базис другого содержит несколько тысяч атомов. В целом картины дифракции рентгеновских лучей на обоих кристаллах будут выглядеть одинаково, однако изучение более тонких деталей, а именно отношений амплитуд различных дифрагированных линий, позволит получить информацию об атомах, составляющих базис.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Трехмерные кристаллические системы, точечные группы и пространственные группы» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
