Двумерные точечные группы и пространственные группы
Во всех двумерных решетках Браве на рис. 1.18 точками обозначены элементарные группы атомов или «базисы». Любой базис должен состоять из одинаково расположенных атомов и иметь одинаковые ориентации в пространстве, симметрия базиса должна соответствовать симметрии решетки. Существует лишь десять способов совместить симметрию базиса с симметрией двумерных решеток Браве. Эти десять точечных групп изображены на рис. 1.19. Цифры показывают число положений внутри базиса, эквивалентных по отношению к операциям вращения. Буква m означает, что базис обладает линией зеркальной симметрии. Заметим, что если существуют Рис. 1.18. Пять двумерных решеток и их симметрии. Q - ось вращения бто- \ - плоскость зеркальной w рого порядка симметрии Л -ось вращения треть- 4- -ортогональные зернам- f±. его порядка нь/е плоскости I I -ось вращения ¥sm/kpmo-^t ^зеркальные плоскости, сле~ 0-£4S& шитютЛ* ***** ^У™" *5 •L Носоиеольная решетка lalsElbl. осФШ° К ос Прямоугольной решетка \й\ФШ. ос-9У° "1 i Симметрия любой прямоугольной решетки плюс минимальная симметрия любой косоугольной решетни Центрированная прямоугольная решетка ct= arccos (a/2b) Квадратная решетка \a! = )Ы. ос=90° а Гексагональная решетка 54 Гл. 1. Кристаллическая структура и форма твердых тел fm 2 mm 3 m 4 mm УК e™yf^ Рис. 1.19. Десять типов точечных групп, которые могут быть совместимы с симметриями плоской решетки. Таблица 1.5. Двумерные кристаллические системы, решетки и плоские группы Кристаллическая система Точечные группы, совместимые с системой Решетки Браве, входящие в систему Число плоских групп, совместимое с решеткой Косоугольная 1, 2 Р (примитивная) Прямоугольная lm, 2mm Р (примитивная) С (центрированная) Квадратная Гексагональная 4m, 4тт 3,3т, 6,6тт Р (примитивная) Р (примитивная) 3 5 1.2. Операции симметрии 55 / > X \ L "/* 1 с/г А л Рис. 1.20. Операция скольжения (отражение от горизонтальной линии, проходящей через середину стрелок, плюс перенос на а/2) не изменяет решетки. Вторичное применение операции скольжения приводит к тому, что стрелка возвращается в положение, эквивалентное ее первоначальному. Симметрии операции скольжения в двумерном пространстве имеют большое значение для трех примитивных прямоугольных и одной квадратной структуры. ось вращения 2-го порядка и одна линия зеркальной симметрии, то обязательно должна существовать и другая ось зеркальной симметрии, перпендикулярная первой; отсюда следуют обозначения 2mm, 4mm и 6mm. Сравнение элементов симметрии десяти точечных групп с элементами симметрии пяти решеток Браве приводит первоначально к существованию только 13 двумерных плоских групп или структур, так как каждая из точечных групп совместима с симметрией лишь одной двумерной кристаллической системы. Из табл. 1.5 видно, что прямоугольная система — единственная из двумерных систем, которая включает в себя более чем одну решетку Браве (хотя, как мы увидим ниже, большинство трехмерных систем содержат по нескольку типов решеток). Существование еще четырех плоских групп связано с возможностью добиться инвариантности относительно операции скольжения (состоящей, как показано на рис. 1.20, из отражения с одновременным переносом на половину длины основного вектора решетки). Таким образом, всего существует 17 плоских групп. Их строение рассматривал Нассбаум20 и Бюргер21. Нассбаум показал также, что воображаемая двумерная кристаллическая структура подчиняется тем же закономерностям, что и повторяющийся рисунок обоев. В табл. 1.5 показано распределение 17 плоских групп по четырем кристаллическим системам.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Двумерные точечные группы и пространственные группы» з дисципліни «Фізика твердого тіла»
