Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не+) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра. Потенциальная энергия U® взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Zе (для атома водорода Z= 1), U® = - , (34.11) где r— расстояние между электроном и ядром. Графически функция U® изображена жирной кривой на рис.34.1. U® с уменьшением r при приближении электрона к ядру неограниченно убывает. Рис.34.1. Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера: ΔΨ + (Е + )Ψ = 0, (34.12) где m — масса электрона, Е — полная энергия электрона в атоме. Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический смысл. 1. Энергия. Такие уравнения имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ, только при собственных значениях энергии Е= - (п=1,2,3…) (34.13) т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии. Решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е1, Е2,, Е3 — показаны на рис. в виде горизонтальных прямых. Самый нижний уровень Е1, отвечающий минимальной возможной энергии, основной, все остальные (Еn>Е1, п=2, 3, ...) — возбужденные. При Е<0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п=∞ Е∞=0. При Е>0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е>0 (заштрихована на рис.34.1) соответствует ионизованному атому. Энергия ионизации атома водорода равна Еi = -Е1 = =13,55 эВ. (34.14) Выражение совпадает с формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера. Решение уравнения Шредингера, т.е. математическое описание орбитали, возможно лишь при определенных, дискретных значениях характеристик, получивших название квантовых чисел. Главное квантовое число n определяет основной запас энергии электрона, т.е. степень его удаления от ядра, или размер электронного облака (орбитали). Оно может принимать целочисленные значения от 1 до ∞. Состояние электрона, характеризующееся определенным значением n, называется энергетическим уровнем электрона в атоме. Электроны, имеющие одинаковые значения n, образуют электронные слои (электронные оболочки), обозначаемые цифрами 1,2,3,4,5… или соответственно буквами: K, L, M, N, O… Наименьшее значение энергии Е соответствует n=1. Остальным квантовым состояниям отвечают более высокие значения энергий, и электроны, находящиеся на этих энергетических уровнях, менее прочно связаны с ядром. Орбитальное (побочное или азимутальное) квантовое число l определяет орбитальный момент количества движения электрона l = и характеризует форму электронного облака (рис.34.2). Оно принимает все целочисленные значения от 0 до (n-1). Каждому n соответствует определенное число значений орбитального квантового числа, т.е. энергетический уровень представляет собой совокупность энергетических подуровней, несколько различающихся по энергиям. Число подуровней, на которые расщепляется уровень, равно номеру уровня (т.е. численному значению n). Эти подуровни имеют следующие буквенные обозначения: Орбитальное квантовое число: 0 1 2 3 4 Подуровень s p d f g
Формы орбиталей, соответствующие различным значениям l
Рис.34.2 Таким образом, энергетический подуровень- это состояние электрона в атоме, характеризующееся определенным набором квантовых чисел n, l. Такое состояние электрона, соответствующее определенным значениям n и l (т.е. тип орбитали), записывается в виде сочетания цифрового обозначения n и буквенного l, например:4р (n=4; l=1); 5d (n =5; l =2). Магнитное квантовое число ml определяет значение орбитального момента количества движения электрона L на произвольно выделенную ось z: Lz = ml, т.е. характеризует пространственную ориентацию электронного облака. Оно принимает все целочисленные значения от – l до + l, например, при l=0 ml =0, при l=1 ml =-1,0,+1; при l=2 ml =-2,-1,0,+1,+2 В общем виде любому значению при l соответствует (2l+1) значений магнитного квантового числа, т.е. (2l+1) возможных расположений электронного облака данного типа в пространстве. Следовательно, можно говорить, что число значений n указывает на число орбиталей с данным значением l. s –состоянию соответствует одна орбиталь, p- состоянию –три, d—состоянию – пять, f –состоянию семь. Все орбитали, соответствующие какому-либо состоянию, имеют одинаковую энергию и называются вырожденными. Общее число орбиталей, из которых состоит любой энергетический уровень, равно n2, а число орбиталей, составляющих подуровень - (2l+1). Состояние электрона в атоме, характеризующееся определенными значениями квантовых чисел n, l, ml,, т.е. определенными размерами, формой и ориентацией в пространстве электронного облака, называется атомной электронной оболочкой. Спиновое квантовое число S характеризует собственный механический момент электрона, связанный с вращением его вокруг своей оси. Оно может иметь только два значения +1/2 или –1/2. Общая характеристика состояния электрона в многоэлектронном атоме определяется принципом Паули: в атоме не может быть двух электронов, у которых все четыре квантовых числа были бы одинаковы. Следовательно, на одной орбитали могут находится не более двух электронов, отличающихся друг от друга значениями спинового квантового числа; максимальная емкость энергетического подуровня 2(2l+1) электронов, а уровня 2n2.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Атом водорода в квантовой механике» з дисципліни «Курс лекцій з загальної фізики, орієнтований на будівельні спеціальності»
