В предыдущем разделе было показано, что окружающую точечный заряд q сферическую поверхность любого радиуса r пересекает линий . Отсюда вытекает, что из точечного заряда выходит линий. Поток вектора через некоторую поверхность численно равен количеству линий , пересекающих эту поверхность. Следовательно, поток вектора через охватывающую заряд сферическую поверхность равен . Знак потока совпадает со знаком заряда. Не сферическая поверхность без «морщин» пересекается каждой линией только один раз. Поэтому число пересечений равно количеству линий, выходящих из заряда, т.е. .
Если поверхность с «морщинами», то число пересечений может быть только нечетным и потому противоположные вклады, вносимые в общий поток Рис. 13.3. взаимно уничтожаются, за исключением одного. Таким образом, для любой формы замкнутой поверхности, охватывающей точечный заряд q , поток вектора сквозь эту поверхность равен . Пусть внутри некоторой замкнутой поверхности заключено несколько точечных зарядов произвольный знаков: q1, q2 и т.д. Поток вектора по определению равен (13.8) (кружок у знака интеграла указывает на то, что интегрирование производится по замкнутой поверхности). В силу принципа суперпозиции полей . Подставив это в выражение для потока, получим , где - нормальная составляющая напряженности поля, создаваемого і-м зарядом в отдельности. Но . Следовательно . (13.9) Доказанное утверждение называется теоремой Гаусса. Эта теорема может быть сформулирована следующим образом: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на (0. Если внутри поверхности заряды отсутствуют, поток равен нулю. Если заряд распределен внутри замкнутой поверхности непрерывно с объемной плотностью (, теорема Гаусса должна быть записана следующим образом: , (13.10) где интеграл справа берется по объему V, охватываемому поверхностью S. Теорема Гаусса позволяет найти напряженность поля гораздо проще, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Теорема Гаусса» з дисципліни «Курс лекцій з загальної фізики, орієнтований на будівельні спеціальності»
