Рассмотрим спектр излучения релятивистской частицы, вращающейся в однородном магнитном поле (рис. 10.4). Решение уравнения движения (9.28) для одной частицы при Е=0 имеет вид Рис. 10 4. Заряженная частица, вращающаяся в однородном магнитном поле В. Система координат выбрана таким образом, что поле в точке наблюдения Р определяется волновым вектором &, лежащим в плоскости ху z. Направление вектора k составляет угол 0 с осью г. Величина в квадратных с мени t* = t—R*/c. Введем обычным образом cosoy, u^ty A0.28) my (w) + u2v a W и и ц — постоянные скорости. Воспользуемся выражением A0.2) для векторного потенциала поля, создаваемого частицей [208]: А = -*>- 4тс qw w R* A0.29) кобках берется в момент вре- компоненты Фурье потенциала 318 A= fXe'^du), Aw=-~- ^~Ae-iwtdt. A0.30) о» —oo В волновой зоне, т. е. на больших расстояниях р от точки 0 (рис. 10.4), введем систему координат так, чтобы волновой вектор имел всего две компоненты Л Г= T(sin б, 0, cos 0) = — . A0.31) с Тогда в волновой зоне в точке наблюдения Р, где р^>р*, получим -и *~ -* R*^kR* = k(p — ?*). A0.32) На таких расстояниях можно пренебречь малыми изменениями в знаменателе формулы A0.29) за счет w-R*/c, положив /?* = р. Однако следует сохранить малые члены в числителе формулы A0.29), так как их действие проявляется в более низком порядке [16]. Теперь можно определить величину Ат i»M«?i=M. Гш(/)ехр[1(Тр* — о>01 Л- A0-33) — С» Из соотношений A0.28), A0.31), а также из того, что w = dp*/dt, следует ^ _ \х0д ехр (— ik р) 8я2р X Г (W cos V, — № sin оH/, и у) х ехр р — (—sinesino>0/+ м,|fcas9 — с/) Id/. A0.34) Упростим этот результат при помощи следующих соотношений для функций Бесселя с» е'1М,= ^ е""Р-/«(/.). A0-35) П=—ОО 319 /„_, (x) + Уя+1 (X) = 2 -"- Jh (x), A0.36) x 2fn = 2dJn -}- Jn-i (/J -Jn+i (z), A0.37) а также известного разложения б-функции сю б (t — h) = — f exp |i(o (/ — /J dco. A0.38) —oo Проведя соответствующие преобразования, получаем - lHcqexp(-ikp) yi l~ с CQS 6 y чу ^W — - Ў — «/ л A 4jxP <jfcJ sin 9 X(— sin9Krt, A0.39) V сое / A<i>u — [L0cqexp(— ik.p) 4*p Y(-0-^{— sine)бл, (Ю.40) ^o^ exp (— i k p) ж-^ и „ , ^ 4яр V^Lyn(^sine)v A0.41) где Jn и /^ —функции величины, заключенной в последних скобках в соотношениях A0.39) — A0.41), а 8n = 8(«>^!icose — (о+яш0). A0.42) Отметим, что так как б-функция отлична от нуля лишь при обращении ее аргумента в нуль, то будет излучаться следующий спектр частот пш° -. A0.43) 1 "» i 1 — — COS ( 320 Согласно теореме Пойнтинга полная мощность излучения через единицу площади в направлении k определяется следующим выражением: Zfxrot —1 = — | Ax(kxA) I =с ]kxAV A0.44) так как &Л = 0, co = kc. Аналогично можно определить энергию п-и гармоники, приходящуюся на единицу телесного угла К и на единичный интервал частот за время / = — оо до t= +00 \агат /п Здесь Ашп —слагаемое, соответствующее индексу п в соотношениях A0.39) —A0.42). Рассмотрим колебание с частотой о)„ за промежуток времени t0y определяемое следующим образом: 7@со8«я* для \t\< yt0i f(t) = 0 для I / I >-~/0. A0.46) Функцию /(/) можно разложить р интеграл Фурье по времени /(/) = Jg (со) exp (hot) Л». A0.47) —00 При этом V.<. sinf—К-«)Л 8М=(-Г) ехр[/(шл-ш)/]Л=—Li - !. ^ Л1 ' J Я (о)^— о)) -Vt'o A0.48) Когда со стремится к (ол, правая часть соотношения A0.48) стремится к /0/2л. Если предположить, что промежуток времени t0 при этом стремится к бесконечности, то из определения б-функции A0.38) и функции g(co) [формула A0.48)] следует, что длительность периода излучения для я-й гармоники можно записать в виде 2ябп. Разделив формулу A0.45) на эту величину и воспользовавшись соотношениями A0.39) — A0.42), И В. Ленерт 321 окончательно получим формулу для мощности излучения я-й гармоники в единицу телесного угла и в единичный интервал частот со: гш.-=(8) = (/2^2 8л2е0С и COS 0 — — | о xv/ Г *>п sin ( (ш* • л\ i -— sin6) + оHС ' + (v)Jn2(.cSlne)}'6ni ^==1>2-")- О0-49) Член, соответствующий /г = 0, обращается в нуль, а члены при я<0 можно включить в выражение A0.49) для симметрии. Полная мощность излучения составит •О К +0О 2 И п=\ п=\ 0 —оо 2 К = 2} f ^rt) (в) 2* sm 9ded«). A0.50) Можно показать, что этот результат согласуется с ранее полученным результатом A0.22) (ср. с результатом Б. А. Трубникова [207]). Из детального исследования соотношения A0.49) следует, что при w/c^l интенсивность гармоник уменьшается с увеличением п. В то же время, когда w/c стремится к единице, спектр состоит из большого числа гармоник.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Спектр излучения отдельной частицы» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
