Движение ведущего центра в почти взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях
Когда поле Е почти перпендикулярно В, компонента Е\\ мала. Поэтому кроме е можно ввести дополнительный параметр малости, который при помощи соотношения (9.35) можно записать в виде -* В* к «1. (9.65) *1 В* —- Ограничимся случаем, когда ?2<с2В2, так что <о остается конечным, когда Ец и X стремятся к нулю. Будем считать, что е и А,/ю — величины одного порядка, хотя необходимо помнить, что их малость соответствует различным физическим предположениям. Итак, Е\\ и X — величины первого порядка. Разобьем тензор F^ на 300 две части, одна из которых F^J содержит В и ?±, авто- рая F^J содержит только ?|г Аналогично можно разбить четырехмерную скорость ведущего центра (9.46) на две части нулевого и первого порядков соответственно U, = Ui0) + Uil). (9.66) Собственное значение F^K не равное нулю, 2 Я { Р2 Е± т fi,@)s=JL [В2 М . (9.67) Используя теперь выражение (9.46) для четырехмерной скорости t/v, получим при помощи уравнения (9.61) %F™Ul0)=0 (9.68) и m^l^gS](ДО)</<¦> + pW </<»>)_ *&«„-?- • (9.69) ах *^ дх„ Мы рассматривали главным образом движение в четырехмерном представлении. Для практики интересны явные выражения, описывающие зависимость от координат и времени. Беря пространственные компоненты уравнения (9.69), получим т^— = q(jj™ ХВ + Е± I/O) + <;?„ f/<°>) - — тЙоЮоУ®. (9*7°) а взяв временную компоненту этого же уравнения, получим Уравнение (9.70) выражает закон сохранения импульса, а соотношение (9.71)—закон сохранения энергии. 301 Уравнение (9.68) можно переписать в следующем виде: ?У<°> XB + EL-U<°> -0, ?±.[/<°>=0, (9.72) поэтому U @) = ($U?+uEU\0\ icUT (9.73) где иЕ = ЕхВ/В2. Здесь {/° —компонента четырехмерной скорости в направлении магнитного поля, a U{t0) — медленно меняющаяся часть энергии частицы. Уравнение движения для U[l) содержит пространственные компоненты (9.70), которые перпендикулярны магнитному полю. Выразим теперь четырехмерные скорости в уравнениях (9.70) и (9.71) при помощи их пространственных и временных компонент согласно соотношениям (9.46) и (9.32). Пусть Е±*—величина нулевого порядка по е, Е\\ —величина первого порядка, зависимость от времени не содержит малости е. Тогда согласно работе [68] из уравнений (9.70) и (9.71) следует .--и.--^)?-^[4-^-Л- ± Г V с2Я2 / 7 L \ с2Я2 / J —»(-.#-+-$-)-«(*?-)?- ТС2 Е Ы L \ с2Б2 / J J X в "Bi1-^) 0 (8«), (9.74) d(K«ll) — dB , п dt у ds L fll- с2В2 Чг (9.75) 302 «?»+fiKi-^)T(9-76) (p*J Af = V ±Je2 , (9.77) 2m?l 1 — —^— ) \ c2B* / где P*±—поперечный импульс частицы в релятивистском пределе в системе координат, движущейся со скоростью иЕ. Величина М представляет собой релятивистское выражение для магнитного момента частицы, определяемого выражением B.83). Можно показать, что она пропорциональна магнитному потоку через лармо- ровский кружок частицы в системе координат, где электрическое поле параллельно магнитному [66]. Уравнения (9.74) и (9.75) аналогичны соотношениям C.18) и C.17), а уравнение (9.76) выражает собой баланс энергии. Первый член в фигурных скобках уравнения (9.74) соответствует электрическому дрейфу C.26). Второй член аналогичен части дрейфа из-за неоднородности магнитного поля C.24). Третье слагаемое содержит две части: а) соответствующую дрейфу из-за неоднородности магнитного поля C.24) (кривизна силовых линий); б) часть, аналогичную поляризационному дрейфу C.27). Наконец, два последних слагаемых обязаны своим происхождением чисто релятивистским эффектам. Полученные результаты соответствуют общему случаю, когда ?j_ есть величина нулевого порядка и поперечный электрический дрейф очень велик. Если Е±_ — величина первого порядка, а Е2±<^с2В2у то величиной Е2±/с2В2 в уравнениях (9.74) — (9.77) можно пренебречь. При этом члены, содержащие иЕ, становятся малыми. В этом случае решение совпадает с ранее полученными в работе [80]. В таблице приведены величины импульса, радиуса вращения и магнитного момента для релятивистского и нерелятивистского случаев. В нерелятивистском пределе уравнение (9.74) переходит в уравнение C.18). Если электрическое поле и dt Здесь (тс2?) = 303 Сопоставление величин в релятивистском и нерелятивистском пределах, когда электрический дрейф и характерный масштаб времени являются величинами первого порядка по е Величина Скорость вращения в лабо- [ раторной системе координат Поперечный импульс, связанный с ларморовским вращением Ларморовский радиус Эквивалентный магнитный момент Нерелятивистский предел mW mWI\q\B (mWJ 2 тВ Релятивистский предел W (ltnW)V2'mB сила F равны нулю, то разница между этими уравнениями будет существенной лишь при f3>l. Этого следовало ожидать, так как согласно результатам § 3.1 движение релятивистской частицы можно определить из нерелятивистского уравнения движения, заменив в последнем массу т на релятивистскую ут.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение ведущего центра в почти взаимно перпендикулярных электрическом и магнитном полях» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
