Однородные статические магнитное и электрическое поля
Теперь рассмотрим задачу о релятивистском движении частицы в однородных магнитном и электрических полях, не зависящих от времени (ср. § 4.1 гл. 2). Так как тензор электромагнитного поля /yv не зависит от 10* 291 времени, то, следуя работам F5, 66], можно искать решение уравнения (9.33) в виде exp (const-т). Подставляя выражение (9.19) в уравнение (9.33), находим корни характеристического уравнения. Общее решение имеет вид xv = ?v a cos сох — 7?v a sin ox + dv b ch lx — — Pvftshbx + X*, (9.34) где —iK(s'-^)+ + t[(s,-:?), + 41^T)'"- <935> Здесь о соответствует знаку плюс, a gv, iQv, <*v, pv, a, b и Avo —константы. Мы увидим, что в качестве взаимно ортогональных единичных векторов можно выбрать ?v, 7]v, av и pv. Величина а в уравнении (9.34) связана с той частью четырехмерного вектора *v, которая вращается с частотой о в пространстве хи *2, х3, х±. Поэтому а можно рассматривать как обобщенный ларморовский радиус при движении в четырехмерном пространстве. Частица при этом вращается вокруг магнитных силовых линий по окружности, радиус которой можно получить, спроектировав четырехмерную орбиту на трехмерное пространство. Величина а, входящая в соотношение (9.34), в нерелятивистском пределе принимает значение, определяемое формулой B.81). Подставив соотношение (9.34) в уравнение (9.33), убедимся теперь, что gv, vjv, av и f)v можно выбрать в качестве ортогональных единичных векторов. Приравнивая члены, одинаково зависящие от т, получаем "^i-S^v <^ = -^2^л (9.36) и ^^-j-^F^, хр,=—l-^'VV (9-37) Ji. ix 292 Используя антисимметрию тензора F^ [см. определение (9.18)], из уравнения (9.36) получаем СО 2 ^ ч,=~ S 2 ^ ^ ч*=°- (938) Аналогичный результат получается для gu, Cv. Далее из уравнений (9.36) и (9.37) следует (o2^a'=tl]2^^a'"=~x2p^- (9-39) <»2>Л=*2>Л, (9.40) V V V V V Эти уравнения удовлетворяют лишь в том случае, если 2^ = 2fU = o- (9-42) v v Наконец из уравнения (9.36) получаем "S^-fllS^^"!]71^' (9*43) а из уравнения (9.37) следует подобное выражение для ои и pv. Из соотношений (9.38) и (9.42) можно заключить, что векторы gv, ?ь, «v и pv ортогональны между собой. Определим теперь а и Ь таким образом, чтобы они представляли собой амплитуды решения. При этом в соответствии с соотношением (9.43) векторы gv, ?]v, av и pv можно считать единичными. Случай, когда со или X обращаются в нуль, следует рассматривать особо, ибо не очевидно, что проведенный анализ справедлив при со = 0 или А, = 0. В заключение исследуем два случая. 1. Электрическое поле перпендикулярно магнитному ЕВ = 0, к=0. Если при этом Е2<с2В2у то со— действительная величина, не равная нулю, а детерминант F^ обращается в нуль. Легко видеть, что решение уравнения (9.33) имеет следующий вид: xv = Sv a cos сот — 7jv a sin сох _j- L\ т, (9.44) 293 где мы положили константу Х^о равной нулю. Из уравнения (9.33) следует, что четырехмерная скорость ?Л удовлетворяет следующему условию %F^U* =0. (9.45) Нетривиальные решения Uv фО получаются лишь в случае равенства нулю детерминанта /у,. Введем обозначения, аналогичные выражению (9.32), U, = (U, icUt), (9.46) где U — «пространственная» часть, a Ut = dt/dt = y — «временная» часть четырехмерной скорости U. Теперь из уравнения (9.45) и соотношения (9.19) следует UX~B+~EUt = 0 (9.47) E-U = 0. (9.48) В нерелятивистском пределе ?Л->1, а 11-+щ. Поэтому уравнения (9.47) и (9.48) аналогичны уравнениям C.26) и B.38) при нерелятивистском движении в однородных полях. Слагаемые в правой части равенства (9.44), содержащие а, определяют вращение в релятивистском случае. В нерелятивистском случае вращение налагалось на дрейфовое движение ведущего центра и определялось B.80). Дрейф ведущего центра теперь определяется четырехмерной скоростью {Л. В частности, Us связано с энергией движения ведущего центра. 2. Электрическое поле параллельно магнитному. Направив ось z вдоль вектора магнитного, а следовательно, и электрического полей, получим, что уравнение (9.33) распадется на две системы уравнений (9.49) d2x dz* d4 _ dx2 ~ dy qEz dt m dz d*y dz* &Ч dz* dx - qEz J?. mc2 dz (9.50) где (dg — нерелятивистская частота вращения. Решением первой системы уравнений (9.49) будут х и у, записан- 294 ные в виде суммы первых двух членов правой части равенства (9.34) при co = o)g. В нерелятивистском пределе этот результат, как и формула B.80), описывает вращение. Вторая система уравнений (9.50) имеет решение, равное сумме третьего и четвертого слагаемых правой части равенства (9.34). Такое решение является апе- аЕ риодическим и связывает z с t при Л=—. В нереляти- тС вистском пределе решение первого уравнения системы (9.50) описывает равномерное ускоренное движение ведущего центра вдоль магнитного поля.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Однородные статические магнитное и электрическое поля» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
