Основными соотношениями при исследовании поставленной задачи будут законы сохранения массы E.17) и импульса E.20), причем уравнение E.20) эквивалентно уравнениям C.46) и C.47), полученным из дрейфовой теории в первом приближении. Запишем основные уравнения, чтобы движение плазмы можно было представить как движение отдельных частиц. Мы уже пользовались таким представлением в § 2.3 гл. 5, где рассматривали дрейф заданного распределения плотности. Рассмотрим уравнение движения E.20). Так как нас будет интересовать в некоторых случаях устойчивость вращающей плазмы, то обобщим основные соотношения, перейдя в систему отсчета, вращающуюся с угловой скоростью Q. Предположим для простоты, что плазма вращается как твердое тело, т. е. Q = const. Используя формулы § 2.2 гл. 7, получаем = пд{Е + ~vXB) + nrrig — — div^+ -1- nmy(Q <p)a -|- 2nmvYQ, (8.3) * Более подробное изложение метода локальной теории возмущений и обсуждение границ его применимости можно найти в обзоре А. Б. Михайловского [171] — Прим. персе. пт dv , -Г dt + (v-y)v 249 где g — ускорение силы тяжести, а все величины определены во вращающейся системе координат. Величина (Q X рJ соответствует потенциалу центробежных сил. Начало координат выбрано на оси вращения. Обозначим ионы и электроны индексом v, принимающим соответственно два значения: / и е. Кроме того, введем следующее обозначение d^/dt= f-flv-V- Умно- dt жив уравнение (8.3) векторно на В, получим «Лх = пДх -Jjp + пт^Х j^2 + BXdiv «mu —— X 2azv mv fix Ь <7V Я2 v v d* </v Б2 ?v #2 + -~nvmv?(QXpb<-^i- (8.4) Проводимое исследование будет основано на следующих предположениях: 1. Давление плазмы много меньше плотности энергии магнитного поля. Любое поперечное движение плаз- ~ мы, заметно искажающее магнитное поле, энергетически невыгодно, так как увеличение энергии поля много больше энергии плазмы. Таким образом, магнитное поле приближенно равно вакуумному. Поэтому можно положить rotfi = 0 и рассматривать только такие желобко- вые возмущения, при которых вещество, двигаясь поперек магнитного поля, не меняет его напряженности. Магнитное поле, создаваемое токами плазмы, слабо влияет на движение частиц. Внешние магнитные поля стационарны. 2. Предположим электрическое поле потенциальным, т. е. Е = — v<p. Этим самым мы отделим интересующие типы колебаний от таких поперечных мод, как электродинамическая и магнитогидродинамическая волны (ср. с исследованием, проведенным в работе [72]). Электродинамические и магнитогидродинамические волновые движения сопровождаются эффектами элек- 250 тромагнитной индукции, которые увеличивают энергию поля. Можно считать, что рассматриваемые возмущения должны иметь скорость, много меньшую скорости света и альфвеновской скорости. То, что при этом электрическое поле потенциально, легко проверить при помощи формул B.2), B.10), (8.4). Так как внешнее магнитное поле стационарно, а полем индукции мы пренебрегаем, то dB/dt = 0. 3. Поскольку те<^гпи то можно пренебречь инерцией электронов. Пренебрежем также диссипацией из-за конечной проводимости. Эти эффекты рассмотрены в работах [172, 173]. 4. Будем считать, что в невозмущенном состоянии положение центра масс покоится в системе координат, определенной в начале этого параграфа. Плазма при этом оказывается электрически нейтральной. В различных применениях рассматриваемой теории считается, что векторы V#, div^-o и div^0,g и—my(QXf>J перпендикулярны к направлению магнитного поля. Так как me<^miy то можно считать, что в начальном состоянии vi0 = 0. Тогда небольшой ток электронов вызывает появление силы —eNve0XB, которая уравновешивает силы давления, гравитации и центробежную. Невозмущенное электрическое поле Е0 связывает электроны и ионы. При vi0 = 0 и rotB~0 тензор лг-о в невоз- »- > мущенном состоянии можно выразить через v В и невозмущенный тензор давления, задаваемый равенством E.24). Тогда в соответствии с уравнением (8.3) для ионной компоненты получим Е0-~ — ?4 4- (div^o)x-"f --V(ОХТJ. (8.5) е eN 2 е В этойформуле отсутствуют продольные скорости yv |( . 5. Рассмотрим малые возмущения начального состояния плотности ni = N + nit ne=N + ne; тензоров давле- НИЯ Лг = ЯгО + Яг, Пе = Пе0 + Ле\ СКОрОСТИ Vi = Vi0 + Vu Ve = = veo + ve и электрического поля Е = Е0—у Ф- Все величи- 251 ны, отмеченные тильдой, малы. Поэтому в нашем приближении опустим их произведения. 6. Возмущение скорости отлично от нуля только в плоскости, перпендикулярной магнитному полю так, ЧТО Vi = Vl±, Ve = Ve±. 7. Плотность частиц настолько велика, что плазма квазинейтральна, т.е. \т—пе\ <С |Й1 + йв|, и ео<Мтг|В2. Приближение П{^пе легко проверить, подставляя выражение (8.10) в соотношения, полученные в этой главе. 8. Частота вращения электронов и ионов в магнитном поле много больше частоты рассматриваемых колебаний. Ларморовские радиусы частиц много меньше характерной длины волны. Воспользовавшись перечисленными выше предположениями, подставив выражение (8.5) в формулу (8.4), получим + //н„ т. \ ?+-^-7(Йх7)* -> Х В* — [ — divttv — div ir/0 |X---— пты-^~ X ?v eN '" J B* v v dt <7V ?2 v = t, e. (8.6) Так как невозмущенные величины не зависят от времени, то из уравнения (8.6) следует a/ ?v ^2 la// * dt В* dt X (-^divic, ) Х j^-nu — Х-^ (8.7) И а^ ± ч/ — <эф , д f 1 «. -* \ , mv a^vl ±-Xfi=Vi dlV t:v -) • Li a/ -1- a* a/ V /zv ?v ] ±. я* dt* 2m 252 Возьмем div уравнения (8.6), где левая часть равенства связана с плотностью заряда формулой E.17). Учитывая, что uv|| =0, при помощи хорошо известных векторных тождеств и четвертого предположения получим уравнение, аналогичное выражению E.62), ±1 dt = div(rtv vj = — 2 div А-вхЙХО) -+-~ -+¦ -w n (V<S>XB)-v В* ^)F+i v(Qx XpJ XBJ • V«v + AiBxfB) div С - -^B rot (div гГ)- — (BX div-^.v^-divj— ^vx—-t- fi(^r,div'r0j- — div N 73~ d2v„ dt* -2 (8.9) где введены циклотронные частоты ^=q^B/m^t в которых нужно учитывать знак заряда. К линеаризованному уравнению (8.9), содержащему величины пи пе, Ф, V{ и ve, следует добавить уравнение Пуассона B.7) для возмущения электрического потенциала ",--п,=-(-^)^Ф. (8.10) Во многих интересных случаях небольшое отклонение rii—пе от нейтральности приводит к большим электрическим полям, которые невозможно создать при помощи ограниченного запаса энергии, заключенной в плазме, когда, например, характерные макроскопические размеры много больше дебаевского радиуса (eQkTJe2n)lft, где 7\ —температура). Плазма при этом квазиней- тральна, т. е. удовлетворяется требование пункта 7 это- 253 го параграфа. В то же время, когда плотность плазмы мала, отношение \nt — nc\l\rii + ne\ приблизительно равно единице. Прежде чем перейти к различным применениям полученных результатов, обсудим физический смысл некоторых членов правой части уравнения (8.9). Третье слагаемое в 'правой части содержит величины g и fix р. Множитель, -стоящий в этом члене перед ул.;, представляет собой дрейфовую скорость частиц, связанную с гравитационным и центробежным полями. Вид этого члена аналогичен выражению, полученному в разделе 2.3 гл. 5 для дрейфа распределения плотности. Четвертый член содержит ^В. Его появление обусловлено дрейфом из-за неоднородности магнитного поля. Как третий, так и четвертый члены имеют разную величину для ионов и электронов, что приводит к разделению зарядов. Это — следствие относительного движения возмущенного распределения плотности ионов и электронов. Во втором члене правой части уравнения (8.9) нашли отражение два эффекта, которые происходят из-за разделения зарядов. Рассмотрим сначала величину — (V ФХВ\В2)/ yrtv. Она соответствует смещению поверхностей постоянной плотности со скоростью дрейфа в скрещенных полях иЕ = ЕхВ/В2. Эта скорость одинакова для электронов и ионов. Далее для неоднородного магнитного поля происходит сжатие ионного и электронного газов со скоростью 2(nJBz) (у ФХВ) • у В — = /2vdivw?, если частицы дрейфуют, пересекая поверхность fi = const со скоростью иЕ (см. § 1 гл. 6). Часть седьмого члена в правой части уравнения (8.9), содержащая дФ/dt, также связана с электрическим полем. Появление этого члена обусловлено отклонением от невозмущенных траекторий, связанных с инерциальным дрейфом ионов [см. уравнение C.25)]. В результате ионы несколько смещаются по отношению к электронам и это приводит к дополнительной поляризации. Ее можно учесть при 'помощи эквивалентной диэлектрической проницаемости [см. § 2.3 гл. 5, а также уравнение C.51)]. Вклад от кориолисовых сил содер- 254 жится в первом члене и, будучи различным для ионов и электронов, приводит к дополнительному разделению зарядов. Согласно данным раздела 2.2 гл. 7, движение частиц в системе координат, вращающейся со скоростью Q, эквивалентно движению в покоящейся системе координат, в которой действует эквивалентное магнитное поле, различное для ионов и электронов B + 2rriiQ/e и В—2meQ/e. Таким образом, ионы и электроны имеют опять различные скорости дрейфа. Полный поток частиц через поверхность и его изменение во времени определяются не только движением ведущего центра, но также вращением частиц, которое представлено вкладами от тензора давления в пятом, шестом и седьмом членах правой части уравнения (8.9). Эффекты, связанные с конечностью ларморовского радиуса, т. е. с более высокими приближениями в тензоре давления, содержатся главным образом в пятом члене этого выражения. Подобные эффекты, связанные с этим видом тензора в нулевом приближении, содержатся в шестом члене. Наконец, последний член травой части уравнения (8.9) содержат вклады высших порядков, обусловленные силами инерции ионов. Обычно он не учитывается.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Основные соотношения» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
