Рассмотрим однородную плазму малой плотности п в поле силы тяжести g, удерживаемую сильным однородным магнитным полем В (рис. 8.1). Предположим, что в состоянии равновесия плазма имеет резкую границу, совпадающую с плоскостью */=0, перпендикулярную g. Нижняя полуплоскость — область вакуума. На- 243 водимое токами плазмы магнитное поле должно быть много меньше внешнего поля В. Пусть граница сместилась, как это показано на рис. 8.1, в плоскости, перпендикулярной В, и имеет форму синусоиды. Можно считать, что жидкость (плазма), занимавшая ранее объем I/, теперь имеет объем V'=V (на рисунке эти объемы заштрихованы). Каждый Рис. 8.1. Плазма, удерживаемая магнитным полем В. Разделение зарядов происходит на резкой границе плазма — вакуум и приводит к появлению дрейфа в электрическом поле. из них составляет полволны синусоиды и неограниченно простирается в направлении оси г. Так как они равны, то изменение суммарного магнитного потока равно нулю. При переходе плазмы из объема V в объем V положение центра масс СМ понижается и переходит в точку СМ1. То же происходит со всеми парами элементов объема V и V вдоль границы. Следовательно, при таком смещении уменьшается потенциальная энергия. Если бы сила тяжести имела противоположное направление, то потенциальная энергия увеличилась. В этом случае система была бы устойчивой относительно всех возможных возмущений. Когда же сила тяжести направлена как показано на рис. 8.1, потенциальная энергия уменьшается при возмущении, возмущение нарастает во времени. Однако приведенные простые аргументы не являются строгим 244 доказательством, так как необходимо еще показать, что частицы плазмы могут двигаться таким образом, чтобы система перешла в состояние с меньшей энергией. Это осуществляется для типа колебания, приведенного на рис. 8.1, но не всегда справедливо для случая, изображенного на рис. 8.5, а. Для получения дальнейшей информации рассмотрим движение частиц на границе плазма — вакуум. Дрейф в поле внешних сил из уравнения C.23) Ugi = rriigX Для ионов HU„, = —megB еВ2 для электронов. Ионы и электроны дрейфуют в противоположных направлениях, что приводит к разделению зарядов на возмущенной границе плазмы. Возникшее > электрическое поле Е вызывает дополнительный дрейф ЕхВ/В2, что увеличивает возмущение границы. Возросшая амплитуда возмущения приводит к увеличению разделения зарядов из-за возросшей скорости горизонтальных дрейфов Ugi и uge. Таким образом можно объяснить движение плазмы поперек магнитного поля на границе плазма — вакуум. Магнитное поле при этом не возмущается. В результате плазма может перейти в состояние с более низкой энергией, следовательно, исходное равновесие неустойчиво. Однако при более детальном анализе, который будет проведен в последующих разделах, можно убедиться, что существуют эффекты, стабилизирующие при определенных условиях желобковые возмущения. Согласно дрейфовой теории поле гравитации не является единственной причиной разделения зарядов на границе плазмы. Силы инерции, возникающие при ускорении плазмы как целого, могут также привести к разделению зарядов. Наибольший интерес для эксперимента представляет дрейф из-за неоднородности удерживающего магнитного поля. В качестве примера рассмотрим цилиндрический слой плазмы, удерживаемой в поле прямой бесконечной нити с током (рис. 8.2). Предположим, что внешняя граница деформируется так, что в низшем порядке теории возмущения полный магнитный поток не меняется. Это условие необходимо для существования желобковых возмущений, которые почти не меняют магнитное поле. 245 Поэтому магнитные потоки в элементах объема V и V (рис. 8.2) должны быть примерно равны, <B>S = = <?'>S' = <D, где <5> и <?'> — средние значения напряженности внутри элементов объема, a S и S' — соответствующие поперечные сечения. Изменение объема плазмы при переходе ее из V в V определяется поэтому разностью величин 2лг/В и 2лг'/<В'>. Для внешней границы рассматриваемой конфигурации вели- Рис. 8.2. Цилиндрический слой плазмы, удерживаемый полем прямой бесконечной нити с током. чина г/В увеличивается с г и объем V больше V. Отсюда следует, что плазма может расширяться, заметно не меняя магнитного поля, переходя при этом в состояние с меньшей потенциальной энергией. Для внутренней границы получается противоположный результат, следовательно, внутренняя граница устойчива, а внешняя — неустойчива. Развивающаяся неустойчивость относится к типу желобковых или перестановочных неустойчиво- стей, при которых вещество переходит из объема V в объем V. После перехода части плазмы из элемента объема V в объем V должны произойти соответствующие изменения баланса давлений и напряженности магнитного поля. Однако, поскольку давление плазмы много меньше величины Я2/8я, изменение магнитного поля слабо влияет на полный магнитный 'поток Ф и площади 5 и S'. 246 Следовательно, точный учет баланса давлений в этом приближении не влияет на изменение потенциальной энергии при возмущениях. Для более сложной конфигурации магнитного поля пробочной геометрии (рис. 8.3) получим условие устойчивости W = V — V - Ф8 f-*- < 0, (8.1) Рис. 8.3. Связь .между напряженностью и радиусом кривизны магнитного поля. где интеграл берется вдоль силовой линии, расположенной на границе, магнитные потоки Ф, пронизывающие объемы V и V> одинаковы, 5 — координата вдоль магнитного поля. Так как rot?«0, то интеграл, взятый по контуру, ограничивающему заштрихованную площадь (рис. 8.3), должен быть равен нулю, т. е. 8R/R = 6B/B, где R — радиус кривизны силовой линии. Заметим также, что магнитный поток бФ = 2яг5б/? между двумя линиями L0 и L'0 не меняется в направлении силовой линии. Используя эти соотношения, условие (8.1) можно переписать в виде [169] f —. (8.2) Следует отметить, что на торцах ловушки, изображенной на рис. 8.3, /?>0, а в средней области R<0. Поскольку вклад от средней части ловушки больше вклада от торцов, то система неустойчива. Если плазма находится в поле с «shear» (см. раздел 3.2 гл. 7), то элементы плазмы перемещаются одно- 247 временно с искажением их формы, что увеличивает устойчивость. Исследования дрейфов, происходящих из-за неоднородности и кривизны магнитного поля, показывают, что разделение зарядов происходит на границе плазма — вакуум (см. рис. 8.2). Возникающее электрическое поле имеет такое направление, что амплитуда возмущения Магнитное попе В Магнитное попе В меньше больше бопьше меньше Рис. 8.4. Плазма, удерживаемая магнитным полем остроконечной геометрии (антнпробкотрон) (а) и пробочной геометрии (б). нарастает на внешней границе и уменьшается на внутренней. Следовательно, и в этом случае смещение, возникшее на внешней границе, нарастает, а на внутренней устойчивой границе — затухает во времени. Таким же способом можно исследовать устойчивость границы плазма — вакуум для любой конфигурации неоднородного магнитного поля (рис. 8.4). Проводя аналогичные рассуждения, получаем, что граница устойчива, если силовые линии вогнуты в сторону плазмы, так называемая остроконечная геометрия (рис. 8.4,а). В противоположном случае, т. е. для геометрии с магнитными зеркалами, граница неустойчива (рис. 8.4,6). Далее мы увидим, что существуют эффекты, при помощи которых можно стабилизовать желобковую неустойчивость даже для пробочной геометрии. Изучим более подробно желобковую неустойчивость и эффекты, влияющие на скорость ее роста [72, 96, 101, 168—170]. Воспользуемся методом собственных колеба- 248 ний и простой локальной теорией возмущений в ограниченной области плазмы. Предположим, что исследуемая область настолько велика, что возмущения успевают нарасти, не достигнув ее границ. При этом можно считать, что граничные условия не влияют на дисперсионные соотношения. Таким образом, мы не будем решать задачу на собственные значения. При исследовании возмущенного состояния все невозмущенные величины будут считаться константами, а потом будут определены условия, при которых полученные результаты справедливы. Следует отметить, что такой анализ не позволяет исследовать возмущения, масштаб которых сравним с макроскопическими размерами плазмы *.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Физическая картина механизма неустойчивости» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
