В предыдущем параграфе было показано, что при некоторых условиях адстицы могут удерживаться магнитным полем. В продольном направлении частицы удерживаются, например, двумя магнитными пробками. Как было показано в гл. 6, удержание плазмы возможно только в том случае, если компоненты скорости частицы связаны между собой определенным образом. Здесь мы рассмотрим другую возможность уменьшения потерь частиц в продольном направлении. Такое удержание связано с возникновением во вращающейся системе центробежного ускорения, которое по -существу является искусственной гравитационной силой. Впервые такой способ удержания был предложен в работах [49—51, 122, 124, 127]. Рассмотрим частицу, радиус-вектор которой в лабораторной системе координат равен р = р@- Введем в этой системе три ортогональных вектора: x*(t), y*(t)y z* (t), сумма которых равна радиус-вектору в произвольный момент времени s*s. S>* S>> ~?(t) = х*~х* + у*у* + z*z* = р*. GЛ7) Здесь **, у*, 2* — единичные векторы, зависящие от времени. Найдем скорость частицы w = р = х* х* + у* у* + z*z* + х*х* + у*у* -f 2*2*, G.18) где точка обозначает производную по времени. Аналогично можно получить выражение для ускорения частицы = р = х* х* + У*У* + z*z* + dt 208 •4 ^N, \ *#* + z*z* / + 2 \**** + */*#* + 2*2*/ + Л* + f/V + 2*z*. G.19) —-»- —*¦ Дадим теперь точное определение векторов х*, у* и 2*, полагая 2* = гг, а также ;к*=-?2Х**, $* = QX#* G.20) и •Ч . *^ч .«'Ч ^Ч . •-ч •ч ^* = ЙХ? + ЙХ?, G.21) где Q = zQ— функция времени и величины х*2+у*2. Это означает, что векторы х* и */* вращаются с угловой скоростью Q, которая является функцией времени и расстояния от оси вращения z=z*. Таким образом, можно считать что векторы х*у у*, z* определяют систему отсчета, которая вращается вокруг оси z с локальной мгновенной угловой скоростью Q, а вектор р* служит при этом радиус-вектором частицы в новой системе координат. Скорость и ускорение частицы в этой системе отсчета равны соответственно ХЧ ХЧ х*ч w* = х* х* 4- У* У* + z* z*» dw* dt _—. л *•* у *п ** jc* + у* у* + 2* 2*. G.22) Комбинируя уравнения G.17) — G.22), можно получить выражения для скорости w = w*+QX?* G.23) 209 и абсолютного ускорения ^L = &L. + 2U X w* - Q V (? X U) + 4~ хТ*. G.24) Второй член в правой чаоти уравнения G.24) представляет собой кориолисову силу, а третий — центробежную силу. Уравнение движения во вращающейся системе координат принимает следующий вид [164]: dt - mU X (Q X ?) + mT* X -^- - mv<pr G.25) В аксиально-симметричном случае, когда в цилиндрической системе координат (г, ф, z) величины не зависят от координаты ф, электрическое и магнитное поля можно найти из уравнений G.10) и G.11). При этом ф-я компонента уравнения G.25) равна A (rw* + -±- г Лф ) + 2Qr — + —- г2 = 0. G.26) dt \ ф /л ф / ^ dt dt v ; Интегрируя уравнение G.26) по времени, получаем mtWy + qrAy + mQr2 =¦- mr0w^0 + qr0Ay0 + + ^Р/2=Рфо- <7-27) Здесь p<po—постоянная величина, которая имеет вид обобщенного углового момента. Этот результат, эквивалентный выражению G.6), можно также получить, если подставить выражение G.23) для w в формулу G.6). Преобразуем теперь уравнение G.25) к виду, эквивалентному уравнению B.36). Введем для этого следующие модифицированные потенциалы: Л* = Л -f — Q х"г, 7- (г, 0, 0) G.28) я и ** = ? —т • т QV2 + Q (^f- ~rA<t)' {7-29) 210 Они соответствуют модифицированным электрическому и магнитному полям ?* = _^р* _-д^- =,Е + — Qrf (Qr) -г- dt q _ f l^SL - ЯгаЛ + Л. Гх -^ G.30) \ <7 / q dt И В* = rot Л* =6 + 2 — Q— — (rxQ)XvQ. G.31) я я Используя введенные нами определения, преобразуем уравнение G.25) т^ = 9?*+^*хд*_ту G>32) at s В справедливости этого соотношения нетрудно убедиться, если подставить выражения G.30) и G.31) в уравнение G.32) и воспользоваться определениями G.11) и G.27). Полученное уравнение G.32) аналогично уравнению движения B.36). Особый интерес представляют вторые члены в правых частях уравнений G.30) и G.31), которые соответствуют центробежной и кориолисовой силам. Уравнение G.32) представляет собой уравнение движения во вращающейся системе координат. При его выводе использованы явные выражения для ускорений, которые возникают из-за вращения, и выражения для соответствующих поперечных дрейфов частиц. Если модифицированное электрическое поле ?* удовлетворяет условию из § 3.1, то на основе уравнения движения G.32) во вращающейся системе координат можно построить дрейфовую теорию с точностью до членов первого порядка по параметру е. Теперь снова рассмотрим запрещенные области, причем магнитное поле будем считать стационарным. Согласно уравнениям G.28), G.29), G.32), эквивалентный потенциал во вращающейся системе координат будет определяться тем же выражением G.13), но только вместо величин Л, ф, w следует подставить соответственно 211 модифицированные величины х* Ф*, w*. В результате получим вместо выражения G.13) для эквивалентного потенциала следующую формулу для модифицированного эквивалентного потенциала: Ф^ ~ \т « +W*A = -J т< + т (ф*о - 9g) + -f Я (Фо — ф) — Я (<V<Ao — Й/-Лфо) + (Ц, — Q) /?фО — _ ± т (qJ г* _ Q2r2) _ _i_ [mr^ + + q (г0Лфо - Мф) + mQ/2 - /яОг8]2 > 0. G.33) Такой же результат можно было получить, подставляя выражение G.23) в формулу G.13) и группируя члены соответствующим образом. Кроме того, выражение G.33) нетрудно вывести при помощи формулы G.27), комбинируя ее с законом сохранения энергии B.38). До сих пор угловая скорость й не была явно определена. Рассмотрим теперь плазму, помещенную в по- лоидальное магнитное поле (рис. 7.3). Рассмотрим случай, когда продольная и поперечная энергии частицы сравнимы по величине. При этом поперечная энергия частицы много меньше той энергии, которая соответствует поперечной разности потенциалов во всей макроскопической конфигурации. Так как частицы могут свободно двигаться вдоль магнитных силовых линий, то естественно предположить, что продольная компонента Е\\ приложенного электрического поля Е будет мала по сравнению с поперечной компонентой Е±. Другими словами, предположим, что продольная компонента Ян является величиной первого порядка малости по сравнению с перпендикулярной компонентой Е± электрического поля. В наинизшем порядке по параметру е это согласуется с приближением C.34). Следовательно, в дальнейшем будем считать, что электрическое поле изменяется таким образом, что вдоль магнитных силовых линий электрический потенциал почти не меняется. В общем случае для этого требуется существование не- 212 которого пространственного заряда. Если разность электрического потенциала между двумя магнитными поверхностями, ограничивающими узкую цилиндрическую область, равна Лр, то веиичина электрического поля равна Е=—dt(/dt±, а направление электрического поля показано на рис. 7.3. В наиннзшем порядке по параметру е все заряженные частицы движутся со скоростью электрического дрейфа. При этом вся плазма вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью гД2 G.34) Полученное соотношение может служить определением угловой скорости Q. Оно означает, что из полной скорости движения частицы мы выделили скорость электрического дрейфа частицы и ввели такую систему отсчета, в которой скорость электрического дрейфа равна нулю. Магнитный поток dfa = 2nrBdl±y заключенный между введенными выше двумя магнитными поверхностями, следующим образом связан с разностью электрического потенциала йф и величиной угловой скорости Q: ?— = 2тг -^- = - d(p Br Р — G.35) Рис. 7.3. Поперечное сечение тонкого тороидального слоя, образованного силовыми линиями полои- дального магнитного поля В (заштрихованная область). Электрическое поле Е приложено под прямым углом к магнитному полю В. йФ d {гAy) Следует отметить, что величины dcp и d<$) постоянны в области между двумя магнитными поверхностями и, следовательно, плазма будет вращаться с угловой скоростью Q = Q0, постоянной вдоль всей длины магнитной силовой линии. Это согласуется с законом изоротации, впервые установленным Ферраро [7]. Пусть магнитное поле настолько велико, что вклады в выражение G.33) от членов г0ЛФо и гЛф значительно больше вкладов от всех других членов в том же выражении. Такое предположение справедливо при выполне- 213 нии условий, которые уже обсуждались в связи с уравнением G.7). Это означает, что угловая частота Q должна быть много меньше циклотронной частоты со^. Отсюда следует, что частица будет удерживаться в узкой области вблизи силовой линии гЛф = const, как это показано на рис. 7.3. При этом в развитом выше подходе, где вращение выделяется при помощи преобразования G.23), можно получить большую информацию о запрещенных областях, чем непосредственно из уравнения G.13). Так как частица должна двигаться внутри области, ограниченной магнитными поверхностями, то величина угловой скорости Q будет близка к й0 вдоль всей траектории частицы. Согласно уравнению G.35), третий и четвертый члены в выражении G.33) сокращаются в пределе бесконечно сильного магнитного поля. В этом предельном случае можно получить следующее выражение для эквивалентного потенциала в отсутствие гравитационного поля: ~ iir[ mr°w*°+q (г°л<ро—гЛф) + + mQ0(r02~r2)]2>0. G.36) Второй член в правой части этого выражения характеризует работу, которую совершает частица против центробежной силы. Последний член в квадратных скобках связан с кориолисовой силой. Для зависящего от времени магнитного поля, когда угловая скорость вращения системы равна Q = Q(t), можно также вывести условие, аналогичное условиям G.7) и G.33). Однако мы не будем здесь детально анализировать этот случай. Соотношение G.36) показывает, что для частицы, которая расположена внутри области r>rw, приведенной на рис. 7.3, возможно абсолютное удержание при условии, 1 2 что тепловая энергия —mw*0 в начальной точке г0 будет меньше центробежной энергии — тЩ (г%— г^). При этом последнее выражение для достаточно большого отноше- 214 ния r0/r„. равно — /яО-*/* ^Ри Q^^g вклад от последнего члена в квадратных скобках выражения G.36), связанного с кориолисовой силой, становится малым. Он влияет только на форму «дна» в потенциальной «яме», соответствующей модифицированному эквивалентному потенциалу <р* . Это следует из формулы G.31), показывающей, что частица движется в эквивалентном магнитном поле В*, которое несколько отличается от магнитного поля В в лабораторной системе координат. Таким образом, в предельном случае бесконечно малого ларморов- ского радиуса частица не будет больше двигаться точно вдоль магнитных силовых линий. При этом частица незначительно отклонится от направления магнитных силовых линий. Это отклонение возникает из-за кориолисовой силы и зависит от отношения m/q. Как мы увидим в дальнейшем, такой эффект может влиять на разделение заряда, хотя при рассмотрении запрещенных областей он не имеет существенного значения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вращающиеся системы» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
