Введем канонические координаты qh и импульсы /?л, определенные в § 2.3. Определим также элементы длины dlk и масштабные множители hk = hk(qk), связанные следующим образом с координатами qh dlk = hkdqky wk = -^ = hkqk. G.1) Тогда для прямоугольной системы координат qk = = (а:, у, г) получим Л&=1, а для цилиндрической системы координат qk=(r, Ф, г) масштабные множители равны Лг=1, Л(р =r, hz=l. В дальнейшем будем считать, что координаты ^л ортогональны. При этом лагранжиан B.47) примет вид L = Y т ? (W - "*Ф* - W + Я ? (МИ.)- G.2) k k В соответствии с формулой B.51) обобщенные импульсы равны pk = mh\qk + qhkAk. G.3) Подставим теперь эти соотношения в выражение для гамильтониана B.52) Н = Y т 2 (Л*^>2 + ОТЪ + W- G-4) Используя соотношение G.3) для исключения величин <7л, получаем окончательное выражение для гамильтониана Н - i S ^^^ + тт, + W = Я (Л, А, 0. G.5) При этом, как показано в разделе 3.1 гл. 2, переменные (qki Ph, t) могут считаться независимыми. Предположим, что потенциалы внешних полей Л, ф и ф#, а также масштабные множители hk не зависят от некоторой координаты qj. В этом случае говорят, что такая координата является циклической. В качестве примера таких координат можно назвать координату y = qj в цилиндриче- 201 ской симметричной конфигурации и координату z = q^ в двумерной конфигурации, когда все величины не меняются вдоль оси z. Тогда гамильтониан G.5) не будет явно содержать координату qj. Полагая % = Pj> из уравнения B.59) получаем -1L- - 0, pj = const - pJ0 = mh?Q qjQ + qhj0 AJ0, G.6) где Pjo — обобщенные импульсы частицы в начальной точке (<7wo, Я]о, q-no) ив начальный момент времени t0, г qm и qn обозначают две остальные координаты, перпендикулярные qj. Теперь подставим полученный результат G.6) в выражение G.5) для гамильтониана. Вычислим следующую функцию от скоростей wm и wn, которые соответствуют координатам qm и qn: + Q (Фо - Ф) l— [mhjQ wj0 + q(hj0Aj0 - ЛуЛуI2 > 0. G.7) 2mhj Из формулы G.4) следует, что полученное выражение не содержит явно величин Ат и Ап. При этом величина фСд, равная кинетической энергии движения в плоскости тп, должна быть положительной. В дальнейшем мы убедимся, что ее можно рассматривать как эквивалентный потенциал при движении в плоскости тп. Обратимся теперь к физическому анализу полученных результатов. Предположим, что векторный потенциал А имеет только одну компоненту Aj в направлении циклической координаты qj. Так будет, например, в случае полои- дального магнитного поля с осью z, направленной вдоль оси симметрии; при этом ф — циклическая координата. В качестве другого примера можно привести магнитное поле системы параллельных линейных токов, когда циклической координатой является координата z, если ось z направлена параллельно токам. При этом магнитный поток, охватываемый контуром С, будет равен ф ¦= Г Г X Ш* = ф X d?= ф Aj hj dqj. G.8) 202 Как видно из рис. 7.4, а и б, элемент длины контура будет направлен вдоль Aj. Для таких контуров магнитный поток сохраняется, если подынтегральное выражение в формуле G.8) постоянно. В этом случае соотношение Ajhj = const G.9) описывает поведение магнитных силовых линии в плоскости тп. На рис. 7.1, а показан ход силовых линий для Рис. 7.1. Магнитные силовые линии образуют границы областей, охватывающих один и тот же магнитный поток Ф: а— цилиндрическая симметрия для полоидалыюго магнитного поля Интервал уравнения G,8) имеет равные значения для двух контуров Со и С, которые касаются одних и тех же силовых линий, б — двумерный случай для поля, образованного системой прямых токов, которые текут вдоль оси Интеграл уравнения G 8) имеет равные значения для двух контуров Со и С полоидального магнитного поля, а на рис. 7.1,6 — для магнитного поля прямых токов. При этом уравнения силовых линий соответственно равны г А = const и Az = = const. Тороидальное магнитное поле — это частный случай магнитного поля, изображенного на рис. 7.1,6, когда прямые токи расположены симметрично вокруг оси г, а магнитные силовые линии образуют окружности в плоскости ху с центрами, лежащими на оси г. Эквивалентный потенциал q>eq, определяемый формулой G.7), не может принимать отрицательных значений. Следовательно, запрещенной областью для частицы, на- 203 холящейся в начальный моменг времени в некоторой точке (<7mo, <7jo, Чпо), будет такая область пространства, в которой крайнее правое выражение в формуле G.7) становится отрицательным. Это возможно в том случае, если последний член в квадратных скобках превышает все остальные члены в этой части равенства. Сравним теперь вклад qhjAj от последнего члена в квадратных скобках с mhjoWjo и с остальными членами вне квадратных скобок в этой части равенства G.7). Если магнитное поле достаточно велико, то ларморов- ский радиус становится небольшим по сравнению с характерной длиной LcB=A/\rotA|, на которой заметно меняется магнитное поле В = rot А. При этом период ларморовского вращения tg также мал по сравнению с временами y/BL2cB и mygleBL2cB. Приведенные выражения определяют промежутки времени, за которые заметно изменяется магнитное поле в системах отсчета, движущихся соответственно со скоростями электрического дрейфа иЕ и гравитационного дрейфа ug = —myygXB/qB2 частиц. Поэтому в сильном магнитном поле каждый из членов hj^Ajo и hjAj в выражении G.7) дает вклад, значительно превышающий вклады всех других членов в этом выражении. Следовательно, достаточно небольшого смещения траектории частицы из плоскости hjAj = hjoAjo, чтобы первая часть второго из равенств в формуле G.7) стала отрицательной; другими словами, это привело бы к смещению частицы в запрещенную область. Поэтому можно заключить, что частица будет оставаться в узкой области плоскости тп вблизи магнитной силовой линии hjAj = hjoAj0. При этом ширина области по порядку величины равна ларморов- скому радиусу. Следует отметить, что этот результат получен для зависящего от времени магнитного поля, когда dH/dt = dH/dt согласно разделу 3.2 гл. 2. В стационарном случае силовая линия hjAj = hjoAjo не перемещается в пространстве и ее проекция на плоскость тп проходит через начальную точку. Если же магнитное поле изменяется во времени, то поверхности hjAj(t) =hjoAj0 все еще можно определить при помощи магнитных силовых линий, но силовые линии при этом будут «двигаться» 204 в пространстве. Как было показано выше для некоторых симметричных конфигураций магнитного поля, в этом случае частицы следуют за движущимися магнитными силовыми линиями так, чтобы магнитный поток G.8) сохранялся. При этом магнитные силовые линии действуют подобно магнитному поршню, сжимающему плазму. Для аксиально-симметричного случая результатам G.3) и G.6) нетрудно дать простую физическую интерпретацию. В лабораторной системе отсчета электрическое и магнитное поля определяются выражениями ? ( dtp дАг д'4Ф д<? . dAz \ rj щ п ~~ \ дг ~г dt ' dt ' dz « dt ) v и *-(-%¦¦¦%—&.-!-U\))- <?•"> В системе отсчета, связанной с частицей, электрическое поле равно E'=E + wXB. При этом момент сил относительно оси симметрии, действующий на частицу в этой системе отсчета, равен r*. — (? + -.i + :{;){'\)- —i«\)- <7-,2) В то же время он должен быть равен производной по времени от механического углового момента частицы tnrWy. Отсюда получается формула G.6) с рф=/71га;ф + + qrA . В заключение приведем несколько примеров равновесных конфигураций, где Н = Н0. 1. В полоидальном поле (см. рис. 7.1, а) эквивалентный потенциал описывается формулой ^=^т^°2 + т(^0_^)фG(фо"^~ -~Г И'о%о + ?М,о -Ч)]2 > °- <7ЛЗ) Так как величина q>eq не может быть отрицательной, то запрещенные области в сильном магнитном поле рас- 205 положены вне узкой полосы в плоскости rz около магнитной силовой линии Мф=/*оЛф0. Это условие достаточно для существования запрещенных областей, но оно не всегда оказывается необходимым. В разделе 2.2 будет показано, что запрещенные области могут быть шире тех областей, границы которых определяются из условия G.13). Заметим при этом, что условие G.13) не изменяется при наложении тороидального поля Az = Az{r). Если магнитное поле чисто полоидальное, как это показано на рис. 7.1, а, то, очевидно, Л = @, Лф, 0) и уравнение движения в плоскости rz принимает вид гор = —\Гф**,- G.14) как нетрудно убедиться, воспользовавшись непосредственно уравнением движения B.36). При этом частица будет двигаться в области минимума эквивалентного потенциала <peq вблизи магнитной силовой линии, проходящей через начальную точку (г0, фо, z0). Рассмотрим интересный случай, когда магнитное поле однородно (ф^ = 0), а электрическое поле приложено в радиальном направлении. Предположим, что электрическое поле достаточно велико и начальная скорость частицы w0 несущественна. Именно такие условия возникают в магнетроне. При этом электрон, который в начальный момент времени находится на поверхности г = г0, не сможет достичь поверхности г = ги если магнитное поле В0 = 2ЛФ/г удовлетворяет следующему условию: В02> 8т(^-^ , G.15) ¦[-?)Т где ф1>фо и A*i>r0. Неравенство G.15) представляет собой условие обрезания электронного тока в магнетроне. 2. Если магнитное поле создается системой прямых токов, как это показано на рис. 7.1,6, то эквивалентный потенциал можно записать в виде Чед = -~тЫJ°+ГП (Ф*° ~~ ^ + q (Ф° ~~ ^ ~ - -L [mw2Q + q (Az0 - Л,)]2 > 0. G.16) 206 Движение частицы в плоскости ху подчиняется уравнению, которое аналогично уравнению G.14). Для тороидального теля векторный потенциал имеет одну компоненту Л = @, О, Az), причем Л2~1пA/г). В этом случае частицы удерживаются в цилиндрических слоях, расположенных вокруг оси симметрии системы, причем толщина этих слоев по порядку величины равна ларморовскому радиусу. Так будет только в том случае, если справедливо предположение dH/dz = 0. В дальнейшем мы увидим, к чему приводит разделение зарядов в направлении оси г и соответствующее изменение электрического потенциала ф. В этом случае возникает аксиальное электрическое поле —dy/dz, и гамильтониан будет зависеть от z. На рис. 7.2 приведено результирующее магнитное поле системы двух проводников с током, параллельных оси */, которые помещены во внешнее однородное магнитное поле В0, направленное вдоль оси z. Расстояние между проводниками равно 2di. Если токи направлены так, как это показано на рис. 7,2, и их величины равны 1{= ±4nd\Bo/\ioy то на проводники не действуют электродинамические силы. Кроме того, в этом случае вокруг проводников расположена область, в которой магнитные силовые линии обходят вокруг их центров. Эта область ограничена поверхностью S, которая соответствует постоянному значению векторного потенциала Аг. Рассмотрим частицу, которая приближается к области, занятой проводниками, из бесконечности вдоль произвольного направления. Тогда из уравнения G.16) следует, что если магнитное поле доста- Рис. 7.2. Пара бесконечны ч проводников, помещенных в однородное магнитное поле Во, направленное вдоль оси z. Сила взаимодействия между этими проводниками отсутствует: / — нулевая линия; 2 — проводники 207 точно велико, то частица не сможет достигнуть поверхностей проводников. Это происходит потому, что значения величины qAz на поверхностях проводника и S сильно различаются.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметричные конфигурации» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
