Перейдем теперь от фазового пространства qnph к пространству quWh, которое окажется более удобным в дальнейшем при выводе уравнений движения B3]. Используя (прямоугольную систему координат и комбинируя уравнения E.2), B.61) и B.62), получаем df . df , ( SAk п д* d9g\ df Для перехода от (qh, Pu, t) к (q'h, w'u, t') произведем следующие преобразования: где qk~qk, P = mw'k + qAk9 t = t'9 E.4) dqk dqj dqj m dwk q dpj dAu dw'k dqj ' dpj q dAk d(fk dt hj > m = o, dw'k dt E.5) m dt E.6) 142 «l-o. ^1 = 0, -^1 = 1. E.7) dqj dpj dt Частную производную от / no qj можно аредставить в виде df _ и/ ~7Л , ui -~п _±_ wl ut /С Q\ df д% дЯк , df dqj dw'k dwk ¦ df dqj df df dqj dqj причем аналогичные формулы имеют место для df/dpj и df/dt. Вычисляя эти выражения и подставляя их в уравнение E.3), получаем DJsJL + w.v/ + — (? + ^XB)-vJ=0, E.9) ot т 1Z ( д д д \ где штрихи опущены, a Vw = -— , -— , -г— \ dwx dwy dw2 J означает градиент в пространстве скоростей. В полученном уравнении р, w, t следует считать независимыми переменными. Уравнение E.9) является уравнением Власова (или бесстолкновительным уравнением Больцмана). Простые физические соображения показывают, что наличие ускорения, связанного с внешней силой F+qwXB, соответствует некоторой «скорости» в пространстве скоростей, так что возникающее движение происходит без источников и стоков, которые могут быть связаны только с столкновениями. При наличии столкновений в каждом элементарном объеме пространства qhWk возникает дополнительный уход рассеянных частиц, а также приход частиц из других частей пространства q^h- При этом уравнение E.9) переходит в уравнение Больцмана D-'=(fL- <510> где член в правой части уравнения представляет собой связанное со столкновениями полное увеличение числа частиц в единичном объеме пространства qu^u за единицу времени. Точное выражение для столкновительного члена в уравнении E.10) можно получить, используя выражение для силы взаимодействия между частицами 143 в гамильтониане E.1). При этом плотность F в фазовом пространстве необходимо проинтегрировать по координатам и имдульсам всех частиц, за исключением одной. В дальнейшем рассмотрим только такие задачи, когда столкновительная диссипация несущественна и, следовательно, при выводе гидродинамических уравнений можно воспользоваться уравнением E.9). В то же время будем считать столкновения достаточно эффективными для того, чтобы они могли привести к установлению локальной функции распределения вида f=f(p, w, t). Эти два утверждения не противоречат друг другу. Физически это означает, что в плазме столкновения между частицами происходят настолько часто, что они обеспечивают установление локального максвелловского распределения; но в то же время они достаточно редки, так что столкновительная диссипация лишь очень слабо влияет на макроскопическое движение плазмы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнение Власова» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
