Если колебания частицы вдоль магнитной силовой линии происходят достаточно быстро по сравнению с поперечным дрейфом частицы, то прежде всего вызывает интерес среднее поперечное движение, в результате которого частица переходит с одной силовой линии на другую, т. е. меняет координаты аир. Эта задача была решена Б. Б. Кадомцевым [80], а затем Нортропом и Теллером [78]. Состояние частицы при среднем дрейфовом движении характеризуется координатами аир, интегралом энергии продольного движения Я и и магнитным моментом Mjf который связан с энергией вращения частицы по ларморовской окружности. Поэтому / = /(а, р, Яц, М, /) можно считать функцией этих величин, остающихся постоянными вдоль произвольной магнитной силовой линии. При этом среднее дрейфовое движение поперек магнитного поля изменяет величины а, р и Яц. В этом случае уравнение D.36) перепишем в виде ^--/„(Яц -<Я||»-^„ (а<Р>-Р<*»,D.38) at где <> — среднее значение соответствующей величины по периоду продольных колебаний <ц. Так как величина магнитного момента М частицы сохраняется, то выражение для полного изменения величины / в пространстве переменных (а, р, Яц) можно записать в следующем виде: = a = 8 — jrrz— Ям. D.39) dt dt ^ da drp * dHt " v ' Сравнивая формулы D.38) и D.39), получаем <H"> = -V'-?-' D'40) 112 <«>=-4-- —, D.42) Первые три уравнения описывают усредненное поперечное дрейфовое движение, которое происходит в отсутствие продольных колебаний. Последнее следует непосредственно из определения продольного инварианта / D.24). В результате такого дрейфового движения частица переходит на такую ближайшую силовую линию, где продольный адиабатический инвариант / совпадает с его величиной на начальной силовой линии. Однако уравнения D.40) — D.43) не являются каноническими, так как множитель t^ зависит от а, р, Я(| , Му i. Вообще говоря, / тоже является некоторой функцией указанных выше переменных / = / (а, р, Яц, М, t). Разрешая последнее уравнение относительное Яц и подставляя полученное выражение для Яц в правую часть уравнения, получаем тождество относительно переменных а, р, М, t. Дифференцируя это тождество по правилам дифференцирования неявных функций, получаем соотношение д//да = — (дН ц/да)/(дН\\/д1) и другие. Поэтому уравнения D.40) — D.43) перепишем в следующем виде <?>=4- -^ D-45) я ая„ дх дН, dt дН, ар ' <#11> = J^JL, D.46) 1 = ,HIl]L. D.47) Уравнения D.44) —D.46), имеющие теперь канонический вид, соответствуют уравнениям B.57), B.56) и B.59). Уравнения для скорости изменения величин аир можно переписать в векторной форме. В системе координат, связанной с точкой s' силовой линии Lu частица, 113 находящаяся в окрестности ds точки 5 силовой линии L0, будет дрейфовать с некоторой скоростью V± (s, s'). При этом среднюю скорость дрейфа частицы с силовой линии L0 к точке s' силовой линии Lx в указанной системе отсчета можно получить из Vx(s, s') усреднением по всем возможным положениям частицы 5 за период /„ . Поэтому в соответствии с уравнением D.32) эту скорость можно представить в виде +(iK»-^)'Hf)' «•«> Подставляя из уравнений D.44) и D.45) выражения для <а> и <Р> и используя постоянство Н\\ вдоль силовой линии, получаем следующую формулу для <V±>: <V±>= L V*. ^ '-К D.49) где штрихи всюду опущены. Теперь при помощи метода, развитого в гл. 2, покажем, что поле < V± > сохраняет поток. Действительно, используя формулы B.1), B.22) и D.49), легко получить rot (Е + <V±> ХВ) = —^- (V аХV Р) + — rot X at q X [^,«V(-g-f—J-fp)]—|-(v«x?»- -^AГ)Х^a + V ("^) X VP = 0. D.50) Таким образом, условие сохранения потока B.29) тождественно выполняется для векторного поля <Vj_>. Кроме того, в соответствии с определением этого поля, 114 данным в разделе 1.3, оно удовлетворяет также условию сохранения силовых линий B.34). Пусть величина Qp(a, р, /, М, t) — плотность частиц в пространстве (а, р, /, М) в момент времени /. Каждой точке этого пространства соответствует частица, находящаяся в момент времени Ь в некоторой точке силовой линии с координатами (a, р) и имеющая магнитный момент М и продольный инвариант /. Движению в этом пространстве соответствует усредненное движение частиц, причем средние величины, характеризующие частицу, получаются при усреднении по быстрым вращениям частицы и по быстрым продольным колебаниям. Так как </>=0 и <М>=0, получим уравнение непрерывности в этом пространстве ^ + 4" Ю,<«>> + ^ «'<?>) = <>. D.51) dt г да ™р ^ " ' д} Из уравнений D.44) и D.45) следует равенство —-<а> = ^~<Р>> поэтому 02 Ор dQp dQp dQD • dQp P~ P +<a>-^- + <P>-^^0. D.52) dt dt ' ^ ^ da ^ ^"" d$ Это означает, что плотность частиц Qp остается постоянной при движении со средними скоростями <а> и <Р>. Это теорема Лиувилля в пространстве (а, р, /, М). Она справедлива для любой канонической системы (см. гл. 5). В ортогональных координатах аир, связанных с магнитными силовыми линиями, элемент поверхности в плоскости ар представляет собой магнитный поток йФ = = dad$% а Qpdadfi— число частиц в этом объеме с моментом М и продольным инвариантом /. Для стационарного состояния, подставляя выражения D.44) и D.45) в уравнение D.52), получаем dtf„ dQp дН» dQp да д$ д} да = 0. D.53) Уравнения D.44) — D.46) — канонические уравнения с гамильтонианом Яц, где аир играют роль обобщен- 115 ных координат и импульсов соответственно. Таким образом, из формулы B.59) следует, что Qp можно считать постоянной при движении в плоскости продольного инварианта, т. е. в плоскости с определенными значениями /, М и Н\\. В дальнейшем будут исследованы некоторые свойства таких плоскостей. Используем полученные результаты для изучения плотности частиц я(р, 7/ц, М, t) в конфигурационном пространстве. Если вдоль данной силовой линии выполнены условия стационарности движения, то плотность частиц можно записать следующим образом п = -^- , D.54) hi . т. е. плотность частиц обратно пропорциональна продольной скорости движения и(( и площади поперечного сечения силовой трубки. Определим теперь величину Пи постоянную вдоль данной силовой линии. Для этого проинтегрируем выражение D.54) вдоль силовой линии между двумя точками отражения J-f--тЯ1/|- D-55) Силовая трубка с площадью поперечного сечения dS = dad$/B и длиной ds содержит ndSds частиц. Пол^ ное число частиц внутри всей силовой трубки между точками отражения равно Nf(ay E, Лц, М, t)dad$. Из уравнения D.55) легко найти Nf=l/2n>\tir Число частиц в элементе объема dadfi с магнитным моментом М и со значением продольного инварианта / в интервале /, / + + dJ равно QpdJdadfi или NfdH\\ dadfi, где дифференциалы dJ и dli\\ связаны между собой. Отсюда величины Nf и Qp связаны следующим соотношением: NjdH\\ — = QdJ или Nf = Qp(dJ/dHц). Из уравнения D.43) следует, что JV//Y,, =QV. Таким образом, соотношение D.54) можно переписать в виде "=2^-Qp. D.56) Так как в стационарном состоянии величина Qp постоянна на плоскости продольного инварианта, то из 116 формулы D.56) видно, что плотность частиц п на этой плоскости пропорциональна В/и^. В отсутствие электрического поля и A зависит только от В при фиксированных значениях /, М и Яц, Таким образом, если в плоскости продольного инварианта выбрать контур, на котором постоянно магнитное поле В, то на этом контуре плотность частиц п также будет постоянной.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения движения для среднего дрейфа частицы» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
