При исследовании интеграла действия B.71) было показано, что магнитный момент D.2) является адиабатическим инвариантом. Исходя из уравнения движения ведущего центра C.16), можно привести аналогичное доказательство с точностью до членов первого порядка по параметру е. Это позволяет более четко понять те физические причины, которые приводят к сохранению магнитного момента М. Умножая скалярно уравнение C.16) на и, получаем следующее выражение: — т —(и2) = 7.и — Ми-уВ, D.14) которое можно рассматривать как уравнение для энергии дрейфового движения. Последний член в этом уравнении описывает связь между движениями всех трех типов со скоростями W, и и и±. Вычитая из уравнения для полной энергии частицы B.38) уравнение D.14), получаем — т— (W2 + 2u±^=7-W + Mu^B. D.15) где w = u-\-W — полная скорость частицы. Далее умножим уравнение D.15) на dt и проинтегрируем его по всему периоду ларморовского вращения /g = 2n/|cog|, воспользовавшись при этом выражением B.37) для полной силы F. Так как \u±-W\<ti W2, то, пользуясь формулой W=da/dt, легко получить уравнение *g - 1 . dW* г Г —/ , ч , М1Ч/ о X Wdt + tgM (u-v)B = —j) v(q<? + mig)da - — q&~(to+tgM(u.tfB. D.16) Здесь предполагается, что величины F, В, и и W2 мало 4* 99 изменяются в течение ларморовского периода. В то же время будем считать, что радиус ларморовского вращения а описывает почти замкнутую траекторию. Таким образом, первый интеграл в правой части второго равенства D.16) приблизительно равен нулю, а второй интеграл в том же выражении можно записать в следующем виде: q§J±d7=-\q\^n-^-dS^-\q\a*-^. D.17) Знак минус перед интегралом появляется потому, что при положительном направлении магнитного поля В вращение ионов вокруг магнитных силовых линий происходит по часовой стрелке, а вращение электронов — против часовой стрелки. Уравнение D.17) описывает бетатронное ускорение частицы при движении по лар- моровской окружности, которое происходит в определенной точке пространства в отсутствие скорости дрейфового движения и. Используя определения M = mW2/2B, a = mW/\q\B=W/\(ug\ и ^=2зт/|со*|, из формул D.16) и D.7) получаем Tm^r-M{i+^)B- <4-18) В этом уравнении член М(и-у) Дописывает бетатронное ускорение частицы, которое возникает в том случае, если частица дрейфует со скоростью и в стационарном неоднородном магнитном поле В. Отсюда следует, что правая часть уравнения D.18) описывает полный эффект ускорения частицы, связанный с изменением магнитного поля в системе координат, движущейся со скоростью и. Воспользуемся теперь определением величины М, а также тем, что полная производная, вычисленная при помощи точной скорости частицы до, приблизительно совпадает с полной производной, вычислен- —>¦ ной при учете лишь дрейфовой скорости частицы и. Тогда получим -^-«0. D.19) 100 Таким образом, из уравнений D.18) и D.19) следует, что сохранение магнитного момента М определяется балансом энергии вращающейся частицы. При этом изменение энергии частицы возникает в результате двумерного адиабатического «сжатия» орбиты частицы в магнитном Рис. 4.2. Траектория частицы в магнитном поле «свадрупольного типа: — траектория частицы; магнитные силовые линии; линии постоянной величины магнитного поля; пограничные кривые. Вдоль траектории частицы указан масштаб времени в единицах 10 сек. поле. Поток магнитного поля через поперечное сечение ларморовской орбиты Tca2B = 2(m/q2)M также можно считать приближенным интегралом движения. Другими словами, ларморовская орбита ведет себя подобно кольцеобразному сверхпроводнику из легко деформируемого и невесомого материала: она изменяет свой радиус так, чтобы проходящий через нее магнитный поток оставался постоянным. Однако в реальных физи- 101 ческих случаях ларморовский радиус, а также характерные пространственные и временные масштабы изменения электромагнитного поля конечны. При этом эквивалентный магнитный момент уже нельзя считать точным интегралом движения частицы, а траектории частиц в большинстве случаев оказываются слабо не- 8 t$W сек Рис. 4.3. Зависимость положения эквивалентного магнитного момента и локального магнитного поля от времени для частицы, траектория которой приведена на рис. 4.2. Величина ларморовского радиуса в рассматриваемом -случае настолько велика, что условия C.1) и C.2) не выполняются адиабатичными. Это можно показать на следующих примерах. 1. Несохранение магнитного момента, вызванное изменением во времени однородного магнитного поля [62]. 2. Движение протона в квадрупольном магнитном поле Вг = с0г, Вф=0, Bz = —2c0z D8]. 102 На рис. 4.2 показана траектория движения частицы в магнитном поле с напряженностью с0=1 в-сек/м3. Скорость частицы равна 3-Ю4 м/сек. На рис. 4.3 показано изменение положения частицы (г, <р, г) и ее магнитного момента М в зависимости от времени t. Изменения магнитного момента М велики, когда величина а\у\/В становится порядка единицы. При этом условия C.1) и C.2) не выполняются, и адиабатическая инвариантность нарушается. 3. Удержание частиц в аксиально симметричном поле с магнитными пробками исследовалось в работе [79] как аналитически, так и при помощи численных методов. Было вычислено изменение магнитного момента при последовательных отражениях частицы от магнитных зеркал в зависимости от скорости частицы. В частности, было обнаружено влияние асимметрии магнитного поля на уход частиц из ловушки через магнитные пробки. Это происходит в результате несохранения магнитного момента М.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Эквивалентный магнитный момент» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
