Движение ведущего центра — это только часть полного движения заряженной частицы. При вычислении потоков вещества, импульса и энергии следует учитывать не только поток ведущих центров, но также и эффекты, связанные с вращением частиц. Это оказывается существенным, когда движение вызывается электромагнитными и механическими силами, которые действуют на элемент объема ионизованного вещества. Теперь, исходя из картины движения отдельных частиц, получим интересующие нас потоки. Ограничимся первым порядком теории возмущений и рассмотрим движение частиц через некоторый элемент поверхности. Полный поток частиц, распределенных в пространстве с плотностью пу через участок поверхности S равен V = J J n^wdS = J J nn&+ W)dS ^Vu + WWt C.41) где Уи и 4V — вклады от дрейфового движения ведущих центров и от вращения, а и и W определены уравнениями C.9) и C.6). Из рис. 3.4, видно, что в ЧЧг вносят вклад те частицы, которые на протяжении лар- моровского периода пересекают поверхность S только один раз [73]. Такие частицы расположены внутри трубки, ось которой совпадает с границей G поверхности S, а радиус равен ларморовскому радиусу частицы. Каждая частица внутри этого объема ш^/2я ежесекундно пересекает поверхность S. Выберем в качестве элемента объема небольшой диск площадью па2 и толщиной fid/. Здесь а — радиус вращения; ad/ — линейный элемент контура С. Эти элементы объема содержат все частицы, пересекающие поверхность S только один раз в те- 74 чение ларморовского периода. Выбирая положительное направление так, как это показано на рис. 3.4, и Ъводя магнитный момент согласно уравнению B.83), получаем в первом приближении Ww = - ф (^)*а»Лй = -L ф nM.dl = -ft^-f-K C.42) Таким образом можно определить макроскопическую скорость v (скорость единицы массы), которая описывает средний поток ча- ^ стиц через единицу поверхности и определяет- j+ ся в том же приближе- *т нии как nv = пи + rot {¦ft- Рис. 3.4. Полный поток частиц через поверхность 5 — это сумма потока ведущих центров Чгм и вклада от скорости вращения ?я [74]. C.43) Левая часть уравнения C.43) дает полную плотность тока частиц и является суммой плотностей полного дрейфового тока и тока намагничивания, которые определяются соответственно первым и вторым членами в правой части уравнения C.43). В действительности, распределение частиц по скоростям, а следовательно, и распределение значений а2 непрерывны. Поэтому поток частиц, пропорциональный в каждой точке пространства а2, следует проинтегрировать по распределению скоростей. Разумеется, мы можем повторить те же рассуждения для любого интервала изменения величина a2=W2/co2 между а2 и a2-fd(a2). В результате получим соотношения типа C.42), C.43) и C.24), в которых величины М, W2 и и2 заменены 75 их средними значениями М, (ИР2) и (ир по пространству скоростей. Отметим еще раз, что W2 и и\ не интегралы движения частицы. Следовательно, при движении частицы W2 и и\ могут изменяться как в пространстве, так и во времени. Запишем теперь при помощи уравнений C.43) и C.22) явное выражение для плотности потока nv некоторого сорта частиц. Пользуясь векторными тождествами, получим nv = пи,. + пи, — rot " х \ 2qB* / -~nu\\~r qB* ~r 2qB* h run f — (u\-±w)ini-b± nm{^)x-B qB2 qB* — nm W* (rot B)n -~ тщк -* 2 '» V(n^Xfl C44) ?B2 2??a Здесь введено обозначение u\\ = U\\+U\\, где fig— средняя продольная дрейфовая скорость частиц в данной точке пространства, а а и —«тепловая» часть продольной дрейфовой скорости. Для функций распределения симметричных в пространстве скоростей и\\ относительно точки м = 0, например при максвелловском распределении имеем \U\\*u^) =0. Введем средние кинетические энергии К, = ^1Ш\=±т{и\+и\), K±=-\-mW* C.45) соответственно для продольного движения и вращения частицы. 76 Поскольку в большинстве случаев тепловое движение значительно более быстрое, чем среднее движение, то и\ <^и\ и К и и К± — соответственно продольная и поперечная «температуры» частиц. Следует отметить, что приведенное выше определение локальных значений средней кинетической энергии имеет смысл только в том случае, когда продольный и поперечный дрейфы частиц являются медленными по сравнению со скоростью изменения функции распределения частиц по скоростям. Таким образом, чтобы иметь возможность определить среднее значение C.45), необходимо допустить, что благодаря столкновению частиц различные части функции распределения по скоростям тесно связаны друг с другом. При этом, однако, диссипация в системе должна практически отсутствовать. В ряде случаев это утверждение означает, что благодаря столкновению устанавливается почти максвелловское распределение частиц по скоростям и в то же время можно пренебречь омической и вязкой диссипациями. Пользуясь введенными выше обозначениями, уравнение C.44) запишем в следующем виде: -*. ^ пК, (rotВ).. л ч ^ __ nFХ~В л п(К±—2К „) ^в —~В х rotTf) х "В х qB* qB3 du± __*. VC*jl)XB пт-^хВ Эти уравнения получены в первом порядке дрейфовой теории. Поэтому при рассмотрении эффектов, для которых существенны члены более высокого порядка по е, ими следует пользоваться с осторожностью. В частности, это относится к инерционным членам. Для более точного вычисления полного потока частиц необходимо применять выражения, учитывающие вклады более высокого порядка не только от движения веду- 77 щих центров, но также и от ларморовского вращения. Дальнейшее рассмотрение этой проблемы продолжено в § 2 гл. 5. Следует отметить, что продольный поток частиц определяется не только вкладом пи± от дрейфового движения ведущих центров. В выражении C.46) содержится также вклад от вращения, который обусловлен кривизной магнитных силовых линий. Интересно, что в том случае, когда распределение по скоростям изотропно и К± = 2К\\у в поперечном потоке C.47) исчезает вклад, обусловленный пространственными изменениями магнитного поля. Мы изучали условия равновесия в продольном направлении. Теперь рассмотрим элемент объема толщиной. dsy который ограничен двумя поверхностями S и S + dS (рис. 3.5), перпендикулярными силовым линиям магнитного поля, причем через них проходит один и тот же магнитный поток (D = SS. Согласно уравнению C.17), частицы, находящиеся внутри этого элемента объема, испытывают в продольном направлении действие Рис. 3.5. Элемент объема толщиной ds, ограниченный двумя поверхностями, площади которых равны S и S+dS. Эти поверхности перпендикулярны магнитному полю. объемной силы nF-B—пМ(В-у )В. Кроме того, в том же направлении на каждую из ограничивающих поверхностей действует сила давления 2пК\\ S — p\\S. При этом полная сила, действующая на элемент объема, уравновешивается продольной силой инерции полного потока массы. Таким образом, [¦#+<-»>•], Sds = = n[FB — M(Bv)B]Sds——BnKи S)ds. C.48) ds 78 Используя соотношение S = <D/B=const/B и определение М, получим следующее уравнение для потока массы в продольном направлении: ^[ir + ^v^J^^n —^(/Cx-2K„)V|I B-V, Bл*|). C.49) В гл. 5 подробно исследована связь уравнений C.47) и C.49) с макроскопической теорией. В заключение рассмотрим частный случай, когда кинетические энергии К и и К± настолько малы, что следует учитывать только инерционный дрейф, возникающий за счет электрического иЕ. В линейном приближении можно полагать duE/dt=duE/dt. Тогда для плазмы, состоящей из электронов и ионов, плотность электрического тока можно записать в виде 7=7,| +7х ~ eni(Ц\\ 1 + ^е)- - епе (ии+ тиЕ) + eeq -^- , C.50) где — nimi "*" пете C.51) Если выражение C.50) для плотности тока подставить в уравнение B.2), то легко видеть, что плазма ведет себя подобно анизотропной диэлектрической среде с диэлектрическими постоянными ео и го-{-еед соответственно в продольном и поперечном направлениях. Этот результат не является общим и справедлив лишь при малой тепловой энергии частиц. Таким образом, поведение плазмы далеко не всегда можно описывать просто заменой ео суммой ео+eeg в поперечной составляющей уравнения B.2). При этом в каждом частном случае необходимо детальное рассмотрение, которое показало бы справедливость такой замены. Особое внимание следует уделить явлениям разделения зарядов. В отдельных частных случаях (например, для элементарных плоских волн), когда нет необходимости за- 79 писывать уравнения движения плазмы в общем виде, можно связать Е и В соотношением, подобным B.2). Тогда ео заменяется диэлектрическим тензором, который является функцией частоты волны (о [21]. Поскольку вид тензора зависит от свойств рассматриваемого волнового движения, то его компоненты не являются уже обычными константами, подобными C.51), которые определяются только плотностью массы и напряженностью магнитного поля В.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ПОТОК ЧАСТИЦ И ТОКИ» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
