До сих пор мы рассматривали дрейфовую теорию, в которой удерживались только члены первого порядка малости. Для подробного рассмотрения высших приближений следует обратиться к выражению C.6). Подставим в уравнение движения C.3) разложения, определяемые соотношениями C.6) —C.8) [45, 69]. W В результате получим сложное выражение, которое будет содержать как неосциллирующие члены, так и ряд членов с различными гармониками основной часто ты (v=l, 2,...)- Поскольку уравнение движения C.3) должно выполняться в любой момент времени /, для каждой отдельной моды коэффициенты в правой части уравнения должны быть равны коэффициентам в левой части. Для неосциллирующих членов это приводит к уравнению движения ведущего центра Я 4 q + {^Х [(Сг VJ + Й- VJ] В- _ J_s» {сг х (Si-v)-S! X (Ci-v)] в + + 4"е2 [CiXtCrvJ+SiX^rvM^ + OH. C-31) Здесь опущен индекс С, означающий, что поля F и В и |их производные вычислены в центре вращения, а точкой сверху обозначена производная по времени. Собирая члены перед cos (Ф/е) и sin@/e), получаем соответственно »»Ci + »SiXe = eB»Si + 5Si — СгХВ) — - еС X [Й• v) В] - • (Ci'V)F + О И C.32) »25i — dCxXB^ — ?B»Ci + &C1+sixS) — -еСХ [(SrV)gI-« (SlV)F +0@- C.33) Я Уравнения C.32) и C.33) связаны в основном с вращением частицы вокруг ведущего центра. Члены, соответствующие более высоким модам колебаний (v^2), здесь не обсуждаются. 70 Уравнение движения ведущего центра C.31) в наинизшем порядке теории возмущений имеет следующий вид: ~F^—qCxB + 0(z), F-B = 0(e). C.34) Это уравнение согласуется с допущениями, сделанными в начале § 3.1. Действительно, в соответствии с этими допущениями продольная компонента F должна быть достаточно малой, так как чрезмерно большие ускорения и скорости вдоль В могут привести к нарушению условия C.2). Отметим далее, что, согласно первому из выражений C.34), поперечная компонента силы F± должна иметь такой же порядок малости, как и поперечная дрейфовая скорость. Будет ли F± величиной нулевого или первого порядка малости, зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи. Если F± оказывается величиной нулевого порядка, то следует иметь в виду, что согласно разделу 1.1, такое поле будет давать существенный вклад в ийерционный дрейф .C.25). ^ Умножая скалярно уравнение C.32) и C.33) на В, а уравнение C.32) на Su получаем Сг5-0(е), Si-Zf=0(e), ci.Si = 0(e). C.35) Здесь # не может быть величиной первого или более высокого порядка по е, поскольку в этом случае разложение C.6) не имело бы смысла. Полученный результат показывает, что в первом приближении вращение —>¦ —^ Можно описать двумя векторами Сх и Su перпендикулярными друг другу и магнитному полю. Кроме того, разность между скалярными произведениями уравнения C.32) на С\ и уравнения C.33) на Si после некоторых преобразований можно представить в следующем виде: tf^S^+Oi*). C.36) 71 Таким образом, в этом приближении векторы С{ и S\ имеют равные модули. Наконец, комбинируя уравнения C.32) и C.33), получаем Ъ = В + 0(г), C.37) что полностью согласуется с основными допущениями. В действительности, члены более высокого порядка в О можно выбирать произвольно, необходимо лишь, чтобы они соответствовали высшим приближениям величин С и Sv в выражении C.6). Таким образом получим вращение частицы в первом приближении ~а - еСхcos(ogt + eSJsin(dgt + 0(e), C.38) где по аналогии с решением B.80) для движения в однородном магнитном поле имеем ?- bxw0 е^=?о. (зз9) Все это подтверждает справедливость допущений, сделанных при выводе первого приближения теории возмущений. Выражение C.31) представляет собой уравнение движения ведущего центра, выведенное с точностью до величин второго порядка малости. В частном случае, когда силовое поле F изменяется в пространстве значительно быстрее магнитного поля В, в уравнении можно сохранить только члены второго порядка, связанные с F. Такая ситуация имеет место, если характерный пространственный масштаб электрического поля много меньше характерного пространственного масштаба магнитного поля, в котором находится плазма. Тогда при помощи уравнений C.38) и C.39) получим т-^- = A+±а\*]?+фХ~В- -AlyB + 0(s8B) + 0(s2), C.40) 72 где M = tnWy2B — эквивалентный магнитный момент, а символ 0(г2В) обозначает члены второго порядка малости, в которые входят производные от В. Появление в уравнении C.40) дополнительного слагаемого xl\d2V\F связано с тем, что частица, вращающаяся в неоднородном поле F, испытывает действие средней силы, которая несколько отличается от силы Fc в точке, где находится центр вращения. При этом на ионы и электроны действуют разные по величине силы, если только ларморовские радиусы ионов и электронов не равны между собой G2]. В двумерном случае величина y\_F=— у (УхФ) отлична от нуля только тогда, когда имеются электрические пространственные заряды. В заключение отметим, что при использовании приближений, в которых отбрасываются члены выше некоторого порядка по параметру е, необходимо соблюдать предельную осторожность, так как разделение зарядов иногда проявляется лишь при учете членов более высокого порядка малости, а члены низшего порядка не приводят к такому эффекту. Это в равной степени применимо к уравнениям движения ведущего центра и к микроскопическим уравнениям движения ионизованного вещества, которые будут выведены в следующем параграфе и в гл. 5. Относительная роль различных членов в этих уравнениях определяется не только их порядком по е, но также математической формой и физическими явлениями, которые они описывают. Типичным примером является поляризационный дрейф C.27), который в уравнении C.22) оказывается величиной порядка е и в то же время дает вклад, сравнимый с электрическим дрейфом C.26). Поляризационный дрейф приводит к разделению зарядов, тогда как и электрический дрейф не дает такого эффекта. Пренебрежение поляризационным дрейфом оправдано только до тех пор, пока дрейфовая теория первого порядка строится для частицы, находящейся в вакууме. Однако в плотной плазме разделение зарядов играет основную роль, и такое приближение неприменимо. Другим примером может служить член второго порядка в уравнении C.40), связанный с 73 силой F, который имеет разные Значения для ионов и электронов и может привести при некоторых условиях к разделению зарядов. В гл. 8 будут рассмотрены еще два примера того, как члены высших порядков существенно влияют на конечные результаты.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Приближения более высокого порядка» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
