Прежде чем перейти к детальному изучению траекторий частиц, выясним исходные пункты теории возмущений и сущность принимаемых приближений. Допустим [9, 10], что изменения магнитного поля на протя- 53 жении ларморовского радиуса а и за промежуток времени, равный ларморовскому периоду 2я/со^, малы, т. е. /|?,-l«i C.1) И / \Bj\ «1. C.2) причем это справедливо для всех компонент Bj магнитного поля и пространственных координат Xh. Дифференцирование по времени в уравнении C.2) производят в системе отсчета, движущейся вместе с частицей. Допустим, кроме того, что соотношения типа C,1) и C.2) выполняются и для любого другого поля внешних сил F, с которым взаимодействует частица. Согласно условиям C.1) и C.2), на протяжении ларморовского радиуса поля В и F, действующие на частицу, должны изменяться сравнительно мало. Это означает, в частности, что продольные скорости не могут быть слишком большими. Следовательно, продольная составляющая силы /*ц = F- (В/В) и соответствующее ускорение должны быть достаточно малы [46]. Не следует думать, однако, что сила F\\ должна равняться нулю. В некоторых случаях неоднородность магнитного поля может создавать эффекты, которые частично уравновешивают действие F\\ и благодаря которым продольная скорость не может стать бесконечной даже при наличии продольного поля сил [22]. На поперечную составляющую силы F±=F — Т7,, также накладываются некоторые ограничения. В частности, поперечная составляющая не должна приводить к чрезмерно большому росту поперечных скоростей частицы и ее ларморовского радиуса, в результате которого условия C.1) и C.2) оказались бы нарушенными. Дальнейшее обсуждение ограничений, накладываемых на Fy и F± и необходимых для применимости теории возмущений, будет продолжено в разделе 1.3. дВ; dxk dBj dt 54 Кроме того, не будем учитывать изменений полей В и F за счет движения отдельной частицы, и эти поля рассмотрим как заданные извне. Воспользовавшись этими основными допущениями, получим уравнение движения B.36) dw F . **¦ тГ т ~- do /0 лч е—= \-wXB, 6 = — , «; = -?-. C.3) dt q q dt Левая часть этого соотношения и последний член в правой части имеют точно такую же форму, как соответствующие члены безразмерных уравнений B.42), где параметр k\ соответствует е. Существует, по крайней мере, два способа, при помощи которых можно интерпретировать параметр е. Первый способ состоит в том, что в уравнении B.43) характерную длину Lc выбирают равной характерному масштабу изменения магнитного поля, а /с полагают рав~- ным такому промежутку времени, в течение которого заметно изменяется магнитное поле при наблюдении его в системе координат, движущейся вместе с частицей. Тогда kx и е становятся равными отношению циклотронного периода к этому промежутку времени. Во втором случае вместо Lc подставляют ларморовский радиус, a tc приравнивают циклотронному периоду, Тогда ^ие равны отношению ларморовского радиуса к характерному масштабу магнитного поля. Следовательно, в обоих случаях е мало цри больших магнитных полях. Кроме того, согласно основным допущениям C.1) и C.2), циклотронный период также оказывается малым по сравнению с характерным временем изменения внешних полей, а ларморовский радиус — много меньше характерных масштабов изменения этих полей. Это, конечно, не означает, что можно просто пренебречь левой частью уравнения C.3); такая процедура справедлива только в некоторых частных случаях. Однако существование малого параметра е позволяет сделать несколько последовательных приближений по степеням этого параметра. Посмотрим теперь, как при помощи основного уравнения C.3) можно исследовать траекторию частицы. Согласно пункту 1 раздела 4.1 гл. 2, траектория частицы в однородном магнитном поле имеет форму спирали и 55 представляет собой вращение со скоростью W0, которое накладывается на движение ведущего центра. Положение частицы задается тогда следующим образом: 7@ =* С @ + sCx cos <*>gt + eSl sin (ogt = C + 7t C.4) где C(t) —обозначает положение ведущего центра, который скользит вдоль силовой линии. Величины г jxw^ ^iBBi C.5) представляют собой два взаимно перпендикулярных вектора, модуль каждого равен а. Основываясь на этих результатах, можно теперь перейти к рассмотрению слабо неоднородных полей В и ?, которые удовлетворяют условиям C.1) и C.2), а также допущениям, сделанным в начале этого параграфа. Тогда отклонение частицы от траектории, задаваемой уравнениями C.4) и C.5), будет мало. Поэтому можно искать радиус-вектор частицы в виде ряда по степеням е [45, 47, 64] 00 7@ = С @ + V ev р (/) cos -^ + S, (t) X v=l Xsin^L^c(t) + 7(t). C.6) Здесь dC/dt, Cv (t) и Sv (/) — медленно меняющиеся функции времени. Вращение описывается тригонометрическими функциями от фазы О/е и, благодаря обратной пропорциональности этой фазы и малой величине е, представляют собой быстро осциллирующие периодические функции. Берковиц и Гарднер [70] показали, что разложение C.6) является точным асимптотическим рядом для истинной траектории частицы. Это означает, что выражение C.6) можно использовать для точного решения задачи, определяемой уравнением движения C.3). 56 В однородном магнитном поле при F=0 выражение C.6) должно переходить в формулу C.4) так, чтобы Cv и Sv при v>l обращались в нуль, a ft становилось равным Bt. Для неоднородных полей В и F разложение C.6) означает, что частица должна все еще совершать неосциллирующее дрейфовое движение, определяемое центром вращения С(/), на которое накладывается быстрое осциллирующее движение, описываемое вектором а(/). Последний определяет положение частицы относительно центра вращения C(t). В наинизшем порядке теории возмущений (v=l) вектор а описывает вращение с циклотронной частотой вокруг силовой линии магнитного поля, на которой находится ведущий центр частицы. Члены высшего порядка по е в разложении C.6) добавляют небольшие поправки к решению, полученному в первом порядке теории возмущений. Эти члены являются высшими гармониками циклотронной частоты, а амплитуда их по крайней мере в е раз меньше модуля а. До сих пор не было дано точного определения того, что же следует понимать под радиусом вращения частицы в высших порядках по е. В действительности коэффициенты уравнения C.6) можно определить, подставив выражение для р в уравнение движения и решив последнее. Тогда коэффициенты будут выражены через заданные поля В и F. Для нахождения высших приближений дрейфовой теории для осциллирующей части движения частицы будем использовать выражение C.6). Заметим также, что в первом порядке |а| тождественно совпадает с выражением B.81) для ларморовского радиуса. Для решения уравнения C.3) воспользуемся разложениями полей В и F по степеням радиуса вращения частицы. Иными словами, разложим поля в ряды Тейлора около центра вращения С оо яijT(oi = % + ^тг(я- v)v5c C-7) 57 оо РШ = ^с + ]? Т(«•vL; C.8) v=l индекс С указывает, что величины вычислены в точке, где в данный момент времени находится центр вращения С частицы. Перейдем теперь к детальному изучению дрейфа ведущего центра.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «ДВИЖЕНИЕ ВЕДУЩЕГО ЦЕНТРА» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
