Для описания движения заряженной частицы в статическом аксиально симметричном магнитном поле введем цилиндрическую систему координат (г, ф, z). При этом магнитное поле имеет вид *-«.*•-(-.?. -?--?¦¦ -*-•-!-<"•.>)•("¦> Скорость частицы обозначим w=(r, Гф, z), где точка указывает, что берется полная производная по времени. В отсутствие электрического и гравитационного полей из закона сохранения энергии следует w'r + w% + w\ = wl. B.92) 41 Поскольку Лф не зависит явно от времени, азимутальная компонента уравнения движения B.36) приводит к соотношению т d , 2\ dAq> Интегрирование этого выражения дает dt ¦Нф). B.93) рф = mrwy + qrAy = тг0а>ф0 + (/г0Лф0 = рф0, B.94) где индекс нуль относится к значениям, взятым в начальный момент времени. Соотношения B.92) и B.93) можно также получить при помощи гамильтонова формализма, рассмотренного в разделе 3.2. Уравнение B.94) выражает закон сохранения обобщенного углового момента рф Применим эти результаты к следующим частным случаям. /. Поле монополя. Магнитное ф* поле, силовые линии которого рас- 9 положены так же, как это показано на рис. 2.6, аналитически описывается формулой B = BezS(ri + 2»)"J/,.(rf 0, z), B.95) где В0 и /0 — постоянные величины. Здесь не будет обсуждаться сингулярная точка г=0, в которой сходятся силовые линии. Векторный потенциал имеет только одну компоненту в ф-направлении, и, как легко видеть из уравнений B.91) и B.95), его можно записать в виде Рис. 2.6. Траектория частицы в поле монополя. гА,= В0120[1-г(г* + г*)Щ. B.96) Впервые движение частицы в таком лоле изучал Пуанкаре [52]. Он обнаружил, что частица движется вдоль геодезической кривой. 42 Радиальная и аксиальная компоненты уравнения движения B.36) имеют вид тг = тгф2 + qryBn B.97) mz=—qr'<?Br B.98) Комбинируя их с уравнениями 'B.94), B.95) и B.96), получаем X {-[р,„ -ФА [. - ^,-j] +-^}. B.99, ли = — qB0l20 г Jpf0 — ^fl0/^ Г 1 — -Тм^Л/"^42^ BЛ00) Легко убедиться непосредственной подстановкой, что z — ?0г, Мф = г0Л9о, гшф = r0w<fO B.101) удовлетворяют уравнениям B.99) и B.100), если только постоянная k0 (выбрана так, что выполняется соотношение М1 + «УЛ—т^-- B-102) Таким образом, частица движется по конической поверхности, определяемой уравнениями B.101). Окончательное уравнение для г принимает следующий вид г^г=^-^- = с0>0. B.103) Соотношения B.102) и B.103) можно непосредственно вывести, приравнивая компоненты центробежной силы mw*0 /г сумме всех других сил, действующих как вдоль, так и поперек В. Как известно [53], общее решение уравнения B.103) c1r2 = —c0—(c1t — c2J и г2 = 2t (—c0)v* + с3, B.104) 43 где С\у с2 и Сг — постоянные интегрирования. Действительное решение, которое удовлетворяет начальным условиям, (получаем из первого выражения B.104) ^0 + (с0 + 2 2 )' + 'о^о co + rlwlo . B.105) Подставляя cQ из выражения B.103), получаем, что частица может подойти к оси 'симметрии 'системы не ближе, 'чем на минимальное расстояние го и>, (рО wa B.106) Траектория частицы для этого случая приведена на рис. 2.6. По мере того как частица приближается к области сильного поля вблизи магнитного полюса Я, она постепенно останавливается, а затем отражается. Это одно из проявлений эффекта магнитного «зеркала» — явления, которое будет рассмотрено в разделах 2.1 гл. 6 и 3.1 гл. 7. В поле монополя частица все время движется на одной и той же трубке тока гЛф = = ГоЛфо. Это свойство только данного магнитного поля B.95), и оно несправедливо в общем случае. 2. Поле диполя. Траектории заряженных частиц в поле магнитного диполя представляют особый интерес для изучения космических лучей и полярных сияний. Эта тема подробно освещена в обзорах [54—56]. В дальнейшем будет дано только краткое описание запрещенных областей. Выберем систему координат (г, ф, z) так (рис. 2.7), чтобы магнитный диполь с моментом Мр находился в Рис. 2.7. Координаты, используемые для описания движения частицы. 44 начале отсчета, а вектор Мр был направлен вдоль оси г. Тогда векторный потенциал можно записать в виде Поскольку, согласно выражению B.92), модуль w полной скорости w есть величина постоянная, в качестве независимой переменной вместо времени можно использовать длину дуги l=wt вдоль пути частицы. Тогда закон сохранения момента B.94) можно представить в виде r2 d4> 4'2 ?л я .= <% РфО mw0 cl где dt = rJ!^o + _4_^LJL B.108) щ \я\ ?1 cst = fool Я \ Mp/4Tzmw0L* B.109) имеет размерность длины и называется единицей Штер- мера. Магнитное поле входит только в cst. На бесконечности угловой момент m(rw9)оо частицы становится равным рсро, поскольку гА9 обращается в нуль, когда г-^сю. Уравнения не изменятся, если одновременно поменять на обратные знаки у q и ф. Поэтому ограничимся рассмотрением случая q>0. Преобразуем сначала все координаты с размерностью длины к безразмерным переменным r' = r/csly р' =P/cst и Г = llst. Тогда выражение B.108) примет следующий вид: r>'*L+-ll= Г°^° ^Is^. B.110) dV D'3 ш° /3 p Po Полученное уравнение не содержит физических постоянных Мру т, q и w0- Таким образом, его вполне достаточно для определения траекторий частиц, задаваемых этим соотношением. Простым изменением масштаба г, р и / 45 можно получить любые другие траектории. Единица Штермера связана с характерным параметром kx уравнения B.43). Для данного решения (г', р') линейные размеры (г, р) траектории убывают при увеличении cst. Этого следовало ожидать, поскольку при увеличении радиуса вращения величина cst уменьшается. Из выражения B.110) можно получить области, в которые не может попасть частица. Введем на рис. 2.7 угол 9, определяемый из соотношения cos8 = r7p/. Тогда wm Tcos2 6 P'cos9-^+—т- = 27'. BЛ11) Поскольку \w9/w\ ^1, отсюда можно получить условие, что частица, вышедшая из точки (r'Qi ф^, р'0) с данной начальной скоростью, достигнет точки (г', q/, р') 2Y cos 0 р' cos 6 <1. B.112) Частица не достигнет точек, для которых неравенство B.112) не выполняется. Такие точки образуют запрещенные области. Многочисленные примеры, иллюстрирующие этот результат, приведены в работе Штермера [56]. Мы продолжим изучение запрещенных областей в § 7.2. Траектории частиц в поле магнитного диполя были исследованы в модельных экспериментах [57, 58]. Результаты численных расчетов таких траекторий приведены в работе [55]. 3. Поле линейного тока. Впервые движение частицы в магнитном поле, создаваемом линейным током /, исследовал Хертвек [59]. В этом случае векторный потенциал имеет вид А = @, 0, А0 )gj-)j, Л = '^f • B-113) где Г\ — произвольная постоянная, которая не влияет на вид соответствующего магнитного поля 5 = гоМ. Компо- 46 ненту уравнения движения B.36) вдоль оси г можно записать в виде mi = q'r Л*. = Л*± B.114) дг г И z = w20 + -?-A0lg^-^-«-A0lg-^t B.115) т r0 т г2 где г0— исходная точка движения частицы. Этот результат следует также из уравнений B.51) и B.59). Комбинируя далее закон сохранения B.94) с уравнением B.115), получаем \ 2 Г0О>ф0 (^)Vi' B-116) Этот результат можно использовать для определения запрещенных областей, граница которых получается приравниванием г нулю. Существуют два решения: г=Гмин и г=гМакс. Следовательно, частица будет двигаться в пространстве между двумя цилиндрами, радиусы которых равны Гмин и гМакс (см. также раздел 2.1 гл. 7). Время, необходимое частице для того, чтобы пройти расстояние от гмин до гмаКс и обратно к гмин, можно определить из уравнения B.116), используя симметрию задачи и-г | [Л-!2р- Используя выражения B.115) и B.116), нетрудно вычислить, что за тот же промежуток времени частица пройдет вдоль оси z расстояние 'макс * v г гмин __ (-^.)а lg»^-]"'^. B.118) 47 Полученные результаты представляют особый интерес, так как они позволяют точно определить среднюю дрейфовую скорость wz = Az/At в направлении оси z. Их можно использовать для проверки правильности выражений, полученных приближенными методами в § 1 гл. 3, которые определяют скорость дрейфа в неоднородном магнитном поле. Такая проверка была проведена Хертвеком, который показал, что для малых значений отношения air (а — радиус вращения, г — характерный размер изменения магнитного поля \B^/(dB^ /dr) | = г) относительная ошибка при вычислении дрейфовой скорости w приближенным методом очень мала.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Магнитостатическое поле с аксиальной симметрией» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
