Для многих областей физики особый интерес представляют системы, в которых движение является периодическим. В системе с одной степенью свободы фазовое пространство представляет собой плоскость, определенную координатами qx и р\. Существуют два типа периодического движения, а именно: колебание и вращение. 30 При колебательном движении траектория в фазовом пространстве это замкнутая кривая, а при вращении q\ может бесконечно возрастать со временем, тогда как р\ — периодическая функция q\. Из систем с большим числом степеней свободы рассмотрим только такие, для которых проекции их траекторий на каждую плоскость (#&, ръ) периодически в том смысле, как это было определено для одной степени свободы. Кроме того, исследуем такие системы, для которых периодические движения в каждой плоскости (<7л, ph) являются не зависимыми друг от друга, и, по крайней мере, в одной системе канонических координат уравнение Гамильтона—Якоби допускает разделение переменных. Таким образом, характеристическая функция W= W(q\, ...,^п,аь ...,an) должна делиться на сумму п членов типа Wh(qk,au—,a>n). Первое из выражений B.60) показывает тогда, что ръ. — это функция только qu и си, ..., an. Поскольку все импульсы рк — периодические функции соответствующих координат qk, то можно образовать систему п величин, определяемых как h = j) Pkdqk = j)-^dqk = Jk К a„), B.63) где интегрирование должно выполняться по всему периоду колебания или вращения в каждой из плоскостей (qk, Ph)- Определяемые соотношениями B.63) п переменных действия Jk являются функциями только п постоянных он, о&2, ..., an. Поскольку pk — периодическая функция qky то в течение каждого периода фазовая траектория в плоскости (<7л, Ph) ограничивает одну и ту же площадь поверхности, равную Д. Нередко параметры осциллирующей физической системы претерпевают медленные изменения. Существующее движение системы принято называть почти периодическим. Например, гармонический осциллятор, упругость которого медленно меняется; заряженная частица, которая вращается в магнитном поле, медленно изменяющемся в пространстве и во времени. Переменные действия не будут тогда точными интегралами движения. Однако, если параметры изменяются достаточно медленно, возможно, что отклонения переменных действия от постоянных значений будут малы. Тщательное исследование этого вопроса приводит к проблеме так 31 называемой адиабатической инвариантности переменных действия. Эту проблему впервые изучали Бургерс [42] и Крутков [43], пытаясь описать механику атома, а позднее она привлекла к себе внимание благодаря развитию физики плазмы. Как показал Борн [44], задачу об адиабатической инвариантности можно сформулировать следующим образом. 1. Пусть дана механическая система, которая в невозмущенном состоянии совершает периодическое движение, как это было определено в начале раздела. Тогда системе соответствует определенное число переменных действия Д, которые в невозмущенном состоянии служат интегралами движения. 2. В уравнения движения данной системы вводится дополнительный параметр, который является функцией времени. 3. Тогда адиабатическими называют такие изменения, обусловленные дополнительным параметром, которые происходят бесконечно медленно по сравнению с периодами системы и характерное время которых не соизмеримо с ними. Резонансные явления между периодами системы и изменениями дополнительного параметра исключаются второй частью этого определения. Доказательства адиабатической инвариантности переменных действия для систем со многими степенями свободы были даны уже в ранних исследованиях Бур- герса, Круткова и Борна. Мы, однако, получим выражение для интеграла действия почти периодической системы при помощи метода, введенного Крускалом [45,46] и развитого позднее Бринкманом [47, 48]. Для этого канонические переменные запишем в виде ?*-?*[в@,А, ft = P*P(/M], B.64) где 0—периодическая функция времени и явная зависимость от времени, содержащаяся <в функциях qu и р^ приводит к изменениям, которые не находятся в резонансе с периодами системы. Пользуясь определением B.64), канонические уравнения B.56) и B.57) запишем в следующем «виде: дН _ dqk ? + iSi. f B.65) dpk дВ dt дИ = dpk q dp dqk дв dt дН __ dpk е + _Ф*^ B,66) 32 где частные производные в правой части соответствуют обозначениям, введенным в уравнениях B.64). Гамильтониан имеет 'следующую форму: H = Hlqk(99f)tpk(e9f),t]t B.67) из 'которой следует, что дв JmJ \ dqk ' дв dpk дв )' V ' ' Комбинируя уравнения B.56), B.66) и B.68), получаем дв j?A \ dt ' дв dt ' дв ) n 2C = 1 д дв dPk dt (Pk- dpk дв dt I д ' dt dt (*¦ fyk дв dqk \ дв ) B.69) Допустим на мгновение, что в и t — независимые переменные. Тогда в левой и правой частях выражения B.69) t можно считать постоянным всякий раз, когда оно встречается явно, и проинтегрировать период относительно в. Поскольку при указанных ограничениях как Я, так и ph{dqh/dt) через промежуток времени, равный одному периоду, возвращаются к первоначальным значениям, то эти величины не вносят в интеграл никакого вклада. Таким образом, k=\ где индекс t означает, что всякий раз, когда время входит явно (в смысле уравнения B.64)], оно должно считаться постоянным. Поскольку в и t рассматриваются как независимые переменные, то в уравнении B.70) можно поменять порядок интегрирования и дифференцирования и получить п ^* = 2^= const, rk=j){pkJ^]de, B.71) k=l 2 Б» Леиерт 33 т. е. интеграл действия /* не зависит явно от времени. Этот результат чисто формальный и справедлив только до тех пор, пока можно ввести указанным выше способом переменную в. Физически его можно обосновать только в том случае, когда движение частицы разделяется на быстро осциллирующую периодическую часть и медленно меняющуюся апериодическую. Тогда интеграл B.71) означает усреднение по осцилляциям, в то время как медленно меняющаяся часть считается постоянной. Для системы с одной степенью свободы J*=J\. Когда в соотношении B.64) явная зависимость от времени оказывается бесконечно медленной, разность между /| и переменной действия /ь определяемой равенством B.63), стремится к нулю. Для системы со многими степенями свободы из соотношения B.71) еще не следует, что каждый член J*k должен сохранять постоянное значение. Однако иногда движение в каждой плоскости (<7л, ръ) можно рассматривать как независимые и гамильтониан B.67) представить в виде суммы соответствующих членов. Каждая степень свободы рассматривается как одномерная система, и анализ уравнений B.68) — B.71) справедлив для любого отдельно взятого значения k. Тогда Гк оказываются постоянными и при бесконечно медленной зависимости от времени /* стремится к Д.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Периодическое и почти периодическое движения» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
