пример. Электрический генератор состоит из замкнутой цепи, часть которой составляют проводники, движущиеся поперек магнитного поля. Источником наведенного электриче- *" ского тока служит электродвижущая сила, которая определяется скоростью движения проводников поперек магнитного поля. Однако понятие магнитных силовых линий и их движения относительно вещества определено неоднозначно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим [10] униполярный индуктор, приведенный «а рис. 2.1. Индуктор состоит из магнитной катушки, создающей аксиально симметричное магнитное поле В, в котором вокруг оси симметрии вращается металлический Рис. 2.1 индуктор металлического вращающегося Униполярный состоящий из диска, с угло- диск с угловой скоростью со. Участок цепи BCDE обеспечивает электрический контакт между точкой В на периферии диска и точкой Е на его оси. Такая система работает как простой электрический генератор, который создает ток / в цепи ABCDEA. Генерацию тока в этой установке можно рассматривать по крайней мере двумя способами. Во-первых, можно допустить, что магнитные силовые линии фиксированы в пространстве. Тогда проводник при движении пересекает их только вдоль участка цепи АВ. В этом случае индуцированная электродвижущая сила равна вой скоростью (О, который присоединен к неподвижной внешней цепи BCDE: 1 — металлический диск; 2 — катушка, создающая магнитное поле 15 в 9ав--= § $XB)-dT=jvBdr = -?-.<l>AB, B.25) ABODE А А где Фав — магнитный поток, проходящий через металлический диск. Во-вторых, можно считать, что все силовые линии движутся вместе с диском с угловой скоростью о. Тогда участок цепи BCDE будет пересекать силовые линии и создавать электродвижущую силу, величина которой определяется интегралом вдоль BCDE А Фва = - j wBdr = ~ -ФАВ = 9ав. B.26) В Результат получается таким же, как и в случае, когда силовые линии считались «покоящимися». Аналогичный результат получился бы и для цепи, изготовленной из упругого проводника, который за время dt=dy/(j) может изменить свою форму от ABCDEA до AB'BCDEA (см. рис. 2.1). Тогда изменение потока в единицу времени становится равным с1Ф/сИ = = (со/2я)-Фав. Заметим, наконец, что если бы внешний участок цепи BCDE был жестко связан с вращающимся диском и его осью и принимал участие во вращении, то в цепи не индуцировалось бы никакого полного тока, а электродвижущая сила равнялась бы нулю. В этом случае изменение соответствующего магнитного потока и интеграл по контуру электрической цепи равны нулю. Из приведенного примера видно, что определить движение магнитных силовых линий невозможно и вообще в этом нет необходимости; существенным является только изменение магнитного потока, охватываемого данным участком цепи. В то же время картина движущихся силовых линий магнитного поля помогает иногда наглядно представить физические явления, происходящие в замагниченной среде, если, конечно, такое движение понимается не слишком буквально. Теперь предположим, что в каждой точке пространства одновременно с магнитным полем В задан некоторый вектор скорости V/ (рис. 2.2). Рассмотрим произ- 16 вольную замкнутую кривую С, элементы длины которой движутся с локальными скоростями Vf, илм, другими словами, контур С переносится полем скоростей Vf. Допустим также, что элементы dS поверхности S, натянутой на этот контур, движутся с той же скоростью Vf. Выделим теперь из всех возможных векторных полей Vf два класса [39]. Рис. 2.2. Все точки кривой С и натянутой на эту кривую поверхности 5 переносятся в пространстве с локальными скоростями, совпадающими со значениями поля скоростей Vf в этих точках. Ф — поток магнитного поля В, охватываемый кривой С. Рис 2.3. Элемент длины dlo, совпадающий по направлению с магнитным тюлем Во, переносится полем скоростей V/ в новое положение dl. Направление элемента совпадает с соответствующим направлением вектора магнитного поля ~в. 1. Поля Vf, сохраняющие магнитный поток. Для этого класса полей при движении контура С магнитный поток, охватываемый контуром, не изменяется. 2. Поля Vf, сохраняющие линию. При этом поле скоростей Vf преобразует силовые линии магнитного поля снова в силовые линии. Это определение можно уточ- 17 нить, если рассмотреть элемент длины dl0, который в момент времени to находится на некоторой магнитной силовой линии. Тогда сохранение линии означает, что dlo переносится полем скоростей Vf таким образом, что новое положение dl этого элемента длины в любой последующий момент времени / также совпадает с некоторой силовой линией (рис. 2.3). Рассмотрим сохранение потока для случая, изображенного на рис. 2.2. Изменение в единицу времени потока какого-либо вектора В, вызванное движением со скоростью Vf контура С, охватывающего поверхность 5, можно записать в виде ~- ff^fi^L +VfdivB + Tot(BXVf)\dS. B.27) Здесь интеграл берется по поверхности S, а л — единичный вектор положительной нормали к элементу поверхности dS. Первое слагаемое подынтегрального выражения в уравнении B.27) описывает изменение напряженности магнитного поля в фиксированной точке пространства. Второе слагаемое обусловлено движением поверхности S, при котором изменяется число ис- -> точников векторного поля В внутри данной поверхности. Поскольку В — магнитное поле, то в данном случае divB = 0? и эта часть вклада в изменение потока исчезает. Последнее слагаемое в подынтегральном выражении обусловлено смещением и деформацией контура С, вызванными движением со скоростью Vf. Этот вклад может быть связан как с неоднородностью V7, так и с неоднородностью В. Подставляя закон электромагнитной индукции B.1) в выражение B.27), получаем dt -Nn.rot(E + VfXfydS=-§(E + S с + VfXB)(U. B.28) 18 Условие сохранения потока означает, что для всякого контура С и любой поверхности S изменение потока должно равняться нулю. Следовательно, подынтегральное выражение в формуле B.28) тождественно обращается в нуль. Необходимым и достаточным условием сохранения потока служит поэтому равенство E + VfxB=-vy., B.29) где х — некоторое скалярное поле. Теперь найдем условие сохранения линии. Рассмотрим элемент длины d/o = ro2—гоь который в момент времени to находится на силовой линии магнитного поля В0, как это изображено на рис. 2.3. Через промежуток времени dt поле скоростей V/ переносит этот элемент длины в новое положение dl = 7& + Vf2dt —701 — Vfldt = dT0 + (dT0- у) Vfdt. B.30) Наблюдатель, который движется вместе с данным элементом длины, обнаружит изменение напряженности магнитного поля, равное с точностью до величин первого порядка малости В -~В0 = <у, f) В> + |-В>. B.31) Первый член в правой части этого соотношения связан с движением поперек неоднородного магнитного поля. Второй член обусловлен изменением поля в фиксированной точке пространства. Учитывая, что B0Xdlo = 0 и пренебрегая членами второго порядка малости, получаем BXdf= B0X[(dT0^)Vf] dt + [fJL + Vf^B0]xdT0dL B.32) Поскольку dl0 = dlo(B0/B), уравнение B.32) можно переписать также в следующем виде: Bxdr=di0diBoX [E-v)v>-(v>-v + -^M]= = dl0dtB0x [rot (VfxB0) — Vf div B0+B0 div V)+rot ?,1,B.33) 19 где использованы некоторые хорошо известные векторные тождества и уравнение B.1). Условие сохранения линии означает, что dl и В всегда должны быть параллельны друг другу, т. е. BXrot{E + VfxS)^Ot B.34) где опущен индекс нуль. Сравнивая уравнения B.29) и B.34), видим, что всякое поле V/, сохраняющее поток, будет сохранять также и линию. Однако обратное утверждение может оказаться-несправедливым. Чтобы связать полученные результаты с плотностью движущихся силовых линий, покажем, что существует семейство линий Z,v, движущихся со скоростью Vf и имеющих следующие свойства [39]: 1. Через каждую точку пространства проходит не больше одной линии семейства Lv. 2. При движении линии Lv, остаются касательными к В. 3. Плотность линий Lv пропорциональна индукции магнитного поля. 4. Величина электродвижущей силы, индуцированной в замкнутом контуре С, который произвольно переносится полем скоростей VF, равна полному числу линий Lv, пересекающих контур в единицу времени. Эта электродвижущая сила имеет такое направление, что индуцируемый ею ток препятствует изменению магнитного потока, охватываемого контуром С. Покажем теперь, что при выполнении этих требований поле скоростей Vf сохраняет поток. Действительно, допустим, утверждения выполняются, и выберем VF равным Vf. Тогда С и L будут двигаться с одинаковой скоростью, а число линий Ц внутри контура С должно оставаться постоянным, и согласно второму и третьему свойствам, должно быть равно магнитному потоку, охватываемому контуром С. И наоборот, предположим сначала, что поле Vf сохраняет поток, и рассмотрим семейство линий Lv, которые совпадают в момент to с магнитными силовыми линиями. Поскольку поле Vf 20 сохраняет поток, то, как было показано при зыводе выражения B.34), оно сохраняет также и линию, и поэтому первое, второе и третье утверждения выполняются. Наконец, в системе координат, движущейся вместе с С, электрическое поле равно E+VFXBy если под Е понимать поле, измеренное в лабораторной системе координат. Поэтому в движущемся контуре С возникает электродвижущая сила с с с Х1<Ур-У,)Х(Щ9 B.35) где первый интеграл в правой части обращается в нуль, поскольку поле Vf сохраняет поток. Второй интеграл имеет такой вид, как этого требуют третье и четвертое утверждения. Таким образом, все эти утверждения полностью эквивалентны требованию, чтобы поле V/ сохраняло поток. Поэтому можно считать, что магнитные силовые линии переносятся со скоростью У/. Заметим, что проведенный анализ теряет силу в точках, где магнитное поле обращается в нуль, и первое условие нарушается. Для нескольких частных случаев движение силовых линий при наличии таких точек исследовал Ньюкомб [40]. При более строгом подходе понятие плотности силовых линий поля основывается на теории меры.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Магнитные силовые линии» з дисципліни «Динаміка заряджених частинок»
