На границе плазмы всегда существуют конечные градиенты плотности и температуры, что в определенных условиях может приводить к неустойчивости. Рассмотрим вновь модель плоского слоя. Пусть однородное магнитное поле на- направлено по оси z: Bq = @,0,5о). Выберем ось х вдоль вектора градиента плотности, на- направив ее из плазмы. Давление также есть функция от х, ро = Ро(х) (см- Рис- 9.2). В ну- нулевом приближении плотность тока в плазме j0 = @,Pq/5q,0). Кроме того, предполагаем, что потоковая (массовая) скорость и электри- электрическое поле в нулевом приближении равны ну- нулю: Vo = 0, Eq = 0. Мы пренебрегаем здесь потоковой скоростью, связанной с классиче- классической диффузией, а также инерцией электронов и движением ионов вдоль магнитных силовых линий. Используем обычные уравнения: (9.28) 1У Рис. 9.2. Рези- Резистивная дрейфо- дрейфовая волна в моде- модели плоского слоя Е + V х В = тц + ^ C х В - Va>) , (9.29) §9.2. Резистивная дрейфовая неустойчивость 167 g + V.(nV) = O, (9.30) V-j = 0, (9.31) где М — масса иона. Рассмотрим электростатические возмуще- возмущения в такой конфигурации. Поправка первого порядка Ei к элек- электрическому полю выражается электростатическим потенциалом Et = — V^i, а возмущение магнитного поля в этом приближении отсутствует Bi = 0 (dB/dt = V х Е). Характеристики электро- электростатического возмущения будут детально объяснены в гл. 10. Для простоты предположим, что температура ионов равна нулю B] = 0), и рассмотрим моду щ = n\(x)expi(ky + k\\z — out), Ф\ = (t>\(x)expi(ky + Щг — ut). Уравнения (9.28), (9.29) сводятся к -iuMnoV\ = ji x Bo - «reVni, (9.32) ji x Bo - ttTeVni = eno(-V0i + Vi x BO - r?ji). (9.33) Уравнения (9.32), (9.33) дают -VixBo + qii. (9.34) Когда г) мало (i/ei 4C ^е)» членом ryj в (9.34) можно прене- пренебречь, т. е. можно написать Vx- г/с-, vy fi[ — как обычно, ионная циклотронная частота (Д = —ZeB/M). Частота возмущения и предполагается низкой {u/Q\J <^ 1, тогда х- и у-компоненты уравнения (9.32) и ^-компонента уравнения (9.33) дают Зх — ~ 5 #0 168 Гл. 9. Резистивная неустойчивость Так как уравнение (9.31) сводится к fx + ikjy + ikpz = 0, а урав- уравнение (9.30) к — iu>n\+nf0Vx + щгкУу + щгЦУг = О, то имеем > (9_35) en no ' V t] "aj Bo "' = 0. (9.36) Дисперсионное уравнение получится, если определитель систе- системы уравнений (9.35), (9.36) приравнять нулю: д о щец \ еВо п\ М , TlJL!lo=O> (9.37) Bo ii\ щ где ту = mevei/ne2, Во/(щег]) = Oe/uei. Дрейфовые скорости vdi>vde ионов и электронов, связанные с градиентом плотности , даются выражениями —(кТ^щ/по) х b — kTi ( —i Vdi = Vde = еВ0 \ щ х b _ кТе (- еВ0 " еВ0 { щ Дрейфовые частоты ионов и электронов определяются как о;* = = kvfo и cj* = fc^de соответственно. Так как п^/п0 < 0, то и* > > 0, а о;* = -(Ti/re)a;* < 0. Вводя и* = k(-n'0/n0)(KTe/mf2e)y дисперсионное уравнение можно записать в виде fc J z/eiu;e* Здесь рп — ларморовский радиус ионов в предположении, что электронная и ионная температуры равны Ге. Обозначим ш/и>* = x + iz, а (ОеП[/ие[Ш*)(к\\/кJ = у и предположим, что (крпJ — (кТе/М)(Щ/и2) <С 1. Тогда дисперсионное уравнение принимает вид (х + izf + iy2(x + iz) - iy2 = 0. (9.39) § 9.2. Резистивная дрейфовая неустойчивость 169 Зависимость двух решений $\(у), z\{y) и х2(у), z2(y) от у ос (Ц/к) показана на рис. 9.3. Так как ^2(у) < 0, то мода, соответствую- соответствующая X2(y),Z2(y) устойчива. Эта вол- волна распространяется в направлении дрейфа ионов. Волна, соответствующая реше- решению x\,z\ > 0, распространяется в направлении дрейфа электронов, и она неустойчива. Если значение (к\\/к) таково, что у « 1,3, значение z\ достигает максимума z\ « 0,25, а инкремент Imo; « 0,25 a;*. Если К) мало, длины волн большинства неустойчивых мод увеличиваются. При этом поддерживается частота столкновений, необходимая для того, чтобы прервать движение электрона вдоль магнитной силовой линии. Если нижний предел к\\ тем или иным методом зафиксирован, то Рис. 9.3. Зависимость и/ш% = = х + iz от у ос к\\/к для рези- стивной дрейфовой неустойчи- неустойчивости 1т(ш/и*) 2 = т. е. инкремент пропорционален г) ос ие1. Эта неустойчивость на- называется резистивной или диссипативной дрейфовой неустой- неустойчивостью. Когда инерцией ионов можно пренебречь, уравнение (9.35) сводится к щ/щ = еф/кТе, а дисперсионное уравнение преобра- преобразуется в ш2 — ukvfe — ЩТе/М = 0. Неустойчивость в этом слу- случае не возникает; она появляется лишь при разделении зарядов (электронов и ионов) за счет инерции ионов. Разделение зарядов нейтрализуется движением электронов вдоль магнитных силовых линий. Однако если параллельное движение электронов преры- прерывается столкновениями, т. е. сопротивлением, разделение зарядов растет и волна становится неустойчивой [3, 4]. Поэтому данную неустойчивость также называют столкновительной дрейфовой неустойчивостью. Механизм разделения заряда между ионами и электронами можно легко понять, если использовать уравнения движения для ионной и электронной компонент, которые имеют вид 170 Гл. 9. Резистивная неустойчивость 0 = —гкп\кТе + гкф\ещ — ещ(Уе х В) — -2nomez/ei(Ve-Vi)||, (9.40) M-?(—iu)Vi = -ikn\—^- — гкф\ещ+ + eno(Vi х В) + nomei/ei(Ve - Vi)||. (9.41) Из этих уравнений находим <bx к) (*-?). (9.42, -*), (9.43) = *iM2l. (9.45) 11 а; по Здесь предполагается, что |Ve||| 3> |Vi|||, и используется обо- обозначение cs = кТе/М. Уравнение непрерывности dn/dt + V х х (nV) = 0 для ионов и электронов дает -гищ + V • (^*n<^i) + (b • V)(n0Fe||) = 0, . _ /b x гк , \ + V • ( д Щф\\ + Из уравнений для электронов следует, что щ = a;e*+ifcf^Te/(mez/ei) /е^\ а из уравнений для ионов следует, что ( v п0 w(l+b)Afc2Z/a; V #сГ? У ' V * ; где 6 = к2(рпJ. Условие электронейтральности дает дисперсион- дисперсионное уравнение, которое эквивалентно (9.38), ш + ifcj?«re/(mei/ei) u;(l +6) — § 9.2. Резистивная дрейфовая неустойчивость \7\_ Движение ионов, перпендикулярное магнитному полю, кроме х- компоненты содержит у-компоненту (второе слагаемое в правой части уравнения (9.44)), связанную с инерцией ионов. В бесстолкновительном случае (9.38) принимает вид A + (fcpn) V - <*> - сЩ = 0. (9.49) В бесстолкновительной МГД неустойчивость не возникает. Од- Однако даже в отсутствие столкновений неустойчивость может появиться в рамках кинетической теории (см. Приложение С). Эта неустойчивость называется бесстолкновительной дрейфо- дрейфовой неустойчивостью.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Резистивная дрейфовая неустойчивость» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
