В перестановочной неустойчивости продольная (параллель- (параллельная магнитному полю) компонента волнового вектора к\\ = = (к • В)/В равна нулю, и средний минимум В может стабилизи- стабилизировать неустойчивость. Для анализа устойчивости возмущений с к\\ = 0 используются критерий Сайдема и условие устойчивости локальной моды в тороидальной си- системе. В этом разделе мы изучим воз- возмущения с к\\ Ф 0, но с |fc||/fci| < 1. Хотя в конфигурации со средним ми- минимумом В перестановочная неустой- неустойчивость стабилизируется, в обла- области с «плохой» кривизной поля мо- может нарастать локальное возмущение с к\\ Ф 0. Неустойчивость такого ти- типа называется баллонной модой (см. Рис. 8.11. Баллонная мода Я 1 П Интеграл энергии SW дается выражением • СJ Рассмотрим случай, когда ? можно выразить в виде *=^, (8.121) §8.5. Баллонная неустойчивость 153 где ф рассматривается как интеграл по времени от скалярного электростатического потенциала возмущенного поля. Поскольку ? х Во = Vj.0, то интеграл энергии сводится к 5W = ± J((V х V^J - ((Во Х V^} X *>jo) V х Величина V • ? дается выражением Для малых бета второй член в скобках пренебрежимо мал по сравнению с первым. С учетом Vpo = Jo x Во величина SW представляется в форме 2 MoVpo * (V_l</> х Во) /Во • V х Vj_0 + R2 1 tf • V х V10 + 7МоРо ( V ( А> ) • (Во х Vx0) U (l\ . (Bo X ч±ф) , ,r Выберем в качестве координаты г расстояние вдоль силовой линии, и пусть г — радиальная координата магнитной поверхно- поверхности, а 0 — полоидальный угол*в направлении, перпедикулярном силовым линиям, г, 0, z-компоненты Vpo> В и V</> приближенно даются выражениями = (OfB,®, ВоО-гД-1^))), 0(г, 0, г) = ф(г, z)Re(expime). Здесь Дс(^) — радиус кривизны магнитной силовой линии, (w + cos 27ГТ Rc(z) Д При Дс(^) < 0 кривизна, как принято говорить, является хоро- хорошей. Если конфигурация такова, что имеется средний минимум 154 8 Магнитогидродинамические неустойчивости В, то должно быть 1>ги>Ои.йо>О. Поскольку все величины Be/Bo,r/Ro,r/L малы, то Во х V±<? и Re и <W сводится к где -ро/р'о = гр и /? = ро/(^о/2//о)- Второй член дает вклад в устойчивость в области Rc{z) < 0 и приводит к неустойчивости в области Rc(z) > 0. Уравнение Эйлера имеет вид Величина Rc приблизительно равна J5/|VS|. Уравнение (8.122) представляет собой дифференциальное уравнение Матье с соб- собственным значением w = F(f3L2/27r2rpR0). Поскольку р(х) = \ _ х~х12, х > 1, то приближенно о „ ^w 2тг2грДо A 4- 3w)(l —wJ L2 Так как w порядка гр/2До, а длина «закорачивания» равна (l — угол вращательного преобразования), то критическое зна- значение бета Д.: ()'(S) (8-123) § 8.5. Баллонная неустойчивость 155 Если /3 меньше критического /Зс> то 6W > 0, и плазма устой- устойчива. Условие устойчивости для баллонной моды в отсутствие шира [15] В случае конфигурации с ши- ром магнитного поля необходим бо- более строгий подход. Согласно [16, 17, 18], для баллонных мод с боль- большим тороидальным числом п>1 ис т — nq rsj 0 (см. Приложение В) об- область устойчивости на плоскости па- параметра шира S и меры градиента давления а имеет вид, представлен- представленный на рис. 8.12. Параметр шира S определяется как с_ rdq qar где q — коэффициент запаса устойчи- устойчивости (q = 2тгД: ь — угол вращатель- вращательного преобразования), а мера гради- градиента давления а определяется как О 1 а Рис. 8.12. Максимальный устойчивый градиент давле- давления а как функция параметра шира 5 для баллонной моды. Пунктирная линия — граница устойчивости, полученная наложением более жесткого условия на возмущение [16] а = — ¦ q2R dp В области большого положительного шира (S > 0,8) имеем для максимального градиента давления примерно линейную зависи- зависимость а ~ 0,65 (см. рис. 8.12). Поскольку то максимальное по устойчивости относительно баллонной моды значение бета равно — 0 6— — -~—г6< к 0 Для оптимального профиля q максимальное бета [19] (8.124) 156 8 Магнитогидродинамические неустойчивости где qa — коэффициент запаса устойчивости на границе плазмы. При выводе (8.124) предполагалось, что qa > 2, q0 — 1. Следует заметить, что в области отрицательного шира S < О баллонная мода устойчива. Отрицательность шира означает, что q® убывает наружу и внешние магнитные силовые линии вра- вращаются вокруг магнитной оси быстрее внутренних. С ростом давления плазма токамака стремится расшириться в направле- направлении большого радиуса (смещение Шафранова). Это сопровожда- сопровождается усилением полоидального поля на внешней стороне плазмы в токамаке. В области сильного градиента давления необходимое для удержания плазмы полоидальное поле возрастает наружу, так что на внешней магнитной поверхности магнитные силовые линии вращаются быстрее, чем на внутренней, и величина шира становится более отрицательной [18].
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Баллонная неустойчивость» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
