Для осесимметричных систем уравнение равновесия имеет вид F.15). Второе и третье слагаемые в левой части этого уравнения обращаются в нуль вне плазмы. Введем тороидальные координаты (Ь,ш,<р) (рис. 6.2). Формулы перехода в цилиндриче- цилиндрические (г, (р, z) координаты имеют вид V '==- chb — cos a;' z — ch b — cos и' и = const b = const Рис. 6.2. Тороидальные координаты Кривые b = &о ~~ окружности с радиусом а = Rq sh bo и центрами г = i?octhbo, z = 0. Кривые и = const также являются окружно- окружностями. Если функцию магнитной поверхности ф заменить на F, используя выражение Y 21/2(ch6-coSWI/2' то вне плазмы функция F будет удовлетворять уравнению dF , d2F , 1 „ п —- + —т + -F = 0. d2F —у 962 Представив F в виде разложения F = ЕрпF) cos no;, 84 Гл. 6. Равновесие получим уравнение на коэффициенты дп\ db2 Это уравнение имеет два независимых решения ~i)9n = shb^Qn- где Pi/(ж) и ф„(ж) — функции Лежандра. Если отношение ради- радиуса плазмы к большому радиусу a/Ro мало, т. е. если еь° » 1, то функции дп и /п принимают вид О Если мы отбросим гармоники выше cos о;, то F и ф можно записать как F = содо + dofo + 2(с\д\ + d\f\) coscj, Используем показанные на рис. 6.3 координаты р,а/, которые соотносятся с цилиндрическими и тороидальными следующим образом: г = Ro + pcosu =-—7 , г = psinu/= en о cos и 7, г = psinu/= ^гр . en о — cos и en 6 — cos uj Если значение Ъ велико, то 1) Для получения приближенных асимптотических выражений удобно ис- использовать нижеследующие представления функций дп и /п (иногда называе- называемых функциями Фока): 2тг дп (Ь) = —— | (cth Ь - cth tI/2 cos nt dt, ttv2 J 0 b fn (b) = -^p- [ (cth b - cth t)l /2 cth nt dt. ttV2 J -6 — Примеч. ред. § 6.3. Равновесие в токамаке [1] 85 Рис. 6.3. Координаты г, z и р, с/ Соответственно, функция магнитной поверхности ^ определяет- определяется выражением 1п4 - 2)) Компоненты магнитного поля выражаются через функцию маг- магнитной поверхности ф: rBp = ~ W Из соотношения можно выразить параметр d'o = fiQlpR/2ny где /р — полный ток, текущий по плазме в направлении <р. Выражение для функции магнитной поверхности принимает следующий вид: 1п 2 ) V р ) Л 8Д р \ 4тг V р ) р ) F.17) где Rq мы заменили на R. Если a/i? <C 1, то уравнение баланса давлений F.9) (Р) ~Ра= 2^ Здесь (...) обозначает усреднение по объему, а ра — давление плазмы на границе. Величина В% + В\ равна В^,. Отношение (р) к (В^,)/2/ло называется полоидальным параметром бета /Зр. 86 Гл. 6. Равновесие Если на границе плазмы давление обращается в нуль (ра = 0), то /?р равно F.18) Здесь В<р и B<pY — тороидальные магнитные поля в плазме и вакууме соответственно. Плазма является диамагнитной, если значение В^ меньше, чем Д^у, при этом /Зр > 1. Если же В^ больше, чем Д^у, то плазма парамагнит- парамагнитна и /Зр < 1 (рис. 6.4). Происхожде- Происхождение парамагнетизма следующее: ко- когда ток плазмы течет вдоль силовых линий магнитного поля, то он по- порождает как полоидальное магнит- магнитное поле Ду, так и тороидальное 0. С использованием выражения F.17) магнитное поле можно пред- представить в виде Рис. 6.4. Диамагнетизм (Д> > 1) и парамагнетизм (/Зр < 1) 2пр ¦+ 8R 1 / , и\ \ \ i — + -r\ h2—о cosw, грдш' \4ttR \ р ) R\ р2)) F.19) Формула для сечения магнитной поверхности выглядит следую- следующим образом: где А = —ipi/ip'o много меньше, чем р. Сечения имеют вид окружностей, смещенных на величину (см. рис. 6.5) Рассмотрим параметры h\ и h^. Как будет показано в разд. 6.4, в равновесном состоянии полоидальная компонента Вш> магнитного поля на границе плазмы (г = а) должна быть равна: !) Термин парамагнетизм здесь употреблен формально, т. к. речь идет толь- только о полоидальной бета. — Примеч. ред. § 6.3. Равновесие в токамаке [1] 87 Рис. 6.5. Смещение плазменного шнура, фо(р') — Фо(р) - ^o(p)Acosu, p' = = р — A cos и Здесь а — радиус плазмы и \Bl, F.21) F.22) F.23) Параметры h\ и /i2 должны быть выбраны так, чтобы удовле- удовлетворять соотношениям Вр = 0 и Ду = 5аA + (a/i?)Acoso/) на границе плазмы, т. е. ^+Л-1). F.24, Подставляя F.24) в F.17), получаем 2тг V р ) 4тг Слагаемое Ji2pcosuj' в выражении для ^ входит в вертикальное магнитное поле / Это означает, что мы должны приложить внешнее магнитное поле вдоль вертикальной оси. 88 Гл. 6. Равновесие Введем фе — /^pcosa/ и представим ф в виде суммы двух членов, ф = фр + фе, где фе = - 8i? у ^ +Л- I) роово/, F.26) Л 8i? о\ , /хо/р /л 8i? t\ , а2 F.27) Эти формулы показывают: для того чтобы удерживать торои- тороидальную плазму в равновесии (рис. 6.6), должно быть приложено В± Рис. 6.6. Полоидальное магнитное поле как суперпозиция поля тока плазмы и вертикального магнитного поля вертикальное однородное магнитное поле 4тгЛ F.28) Это вертикальное поле ослабляет полоидальное поле на внутрен- внутреннем обходе шнура и усиливает его на внешнем. Величина В± в F.28) может быть получена из качественных соображений. Баллонная сила — сила, с которой плазменное кольцо с током стремится растянуться, — определяется выраже- выражением dR 2 Lp/P=const где Lp — самоиндукция кольца с током _т1 2 Р dR ' Следовательно, баллонная сила равна
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Равновесие в токамаке» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
