Время кулоновских столкновений, инжекция быстрых нейтральных атомов
Движение заряженных частиц рассматривалось в предыду- предыдущем разделе без учета столкновений между частицами. В насто- настоящем разделе обсуждаются явления, связанные с кулоновски- ми столкновениями. Начнем с простой модели. Предположим, что сфера радиуса а движется со скоростью v в пространстве, заполненном сферами ради- радиуса Ь с плотностью п (см. рис. 2.7). Когда расстояние между двумя частицами ста- становится меньше а + Ь, проис- происходит столкновение. Сечение (J такого столкновения равно (у = тг(а + бJ. Так как сфера радиуса а проходит за вре- время St расстояние I = vSt, то Рис. 2.7. вероятность столкновения со сферой радиуса Ъ nla = navdt. В данном случае nl — возможное число сфер 6, с которыми налетающая сфера а может столкнуться за время St внутри области с единичным сечением, a nla — их полное число внутри = vAt Вероятность столкновения сферы радиуса а со сферами радиуса Ь 36 Гл. 2. Характеристики плазмы области с сечением, равным а. Поэтому величина, обратная времени столкновений ?соц, равна (^соиГ1 = nav. В этом простом случае сечение столкновения а не зависит от скорости налетающей сферы а, хотя в общем случае такая зави- зависимость может иметь место. Рассмотрим кулоновское столкновение электрона с ионом, в результате которого налетающий электрон сильно отклоняется от первоначального направления (см. рис. 2.8). Столкновения Рис. 2.8. Кулоновское соударение электрона с ионом такого рода возможны, когда величина электростатического по-, тенциала электрона на ближайшем к иону расстоянии Ъ порядка * кинетической энергии налетающего электрона, т. е. Ze2 ^ mevl 4тге0Ь 2~~' Сечение такого близкого кулоновского столкновения равно а = = тгб2. Обратное время столкновения при близких кулоновских столкновениях равно 1 -« щ7г(Яе2)Ч Z2e4ni — = щауе = mve7rbz = ——^ ^-—2 = .223- *coii D7геотеу^/2у 4тге^т^ Поскольку кулоновская сила является дальнодействующей, пробная частица отклоняется на небольшой угол даже удаленной полевой частицей, к которой пробная частица близко не под- подходит. Как было указано в разд. 1.2, кулоновское поле полевой частицы не экранируется в пределах дебаевской сферы (т. е. сферы с радиусом, равным дебаевскому, Ad), а внутри дебаев- дебаевской сферы в условиях обычной лабораторной плазмы находится большое количество полевых частиц (слабовзаимодействующая плазма). Большое число столкновений с малым углом рассеяния §2.6. Время кулоновских столкновений, инжекция атомов 37 в результате приводит к большому эффекту. Учет таких дальних столкновений с малым углом рассеяния приводит к увеличению суммарного сечения кулоновского столкновения в кулоновский логарифм раз: ) г ^« fdr« 15-20. Ь ) ) 6/2 Производная по времени компоненты импульса рц вдоль направ- направления движения налетающего электрона выражается [1,2] через время столкновений те\\\: dt Tei||' Z2e4m\nA B.14) где rei|| — характерное время торможения электрона ионами. В общем случае, при столкновении пробной частицы с заря- зарядом qy массой m и скоростью v с полевой частицей с зарядом q*9 массой ш* и тепловой скоростью Vj = (кТ*/т*I/2 время столкновения дается выражением [1,2] J д2д*2п*\ъА (qq*r^\2 In Л ^ ^ rv3 V eom в предположении г; > Vj. Здесь шг обозначает эффективную массу, mT = mm*/(m + т*). Подставляя среднее значение (m/2)v2 = C/2)«Г, получаем для 1/тц: тц При столкновениях электрона с ионами эта формула для времени столкновений дает что с погрешностью ~ 20% совпадает с формулой Спитцера [4] B.18) 38 Гл. 2. Характеристики плазмы Если ион с зарядом Z и массой т\ сталкивается с такими же ионами, время ион-ионных столкновений дается формулой 1 zVnjlnA Щ\ 31/26g1/2(rK/2 " Время электрон-электронных кулоновских столкновений можно получить заменой гп[ -» гае и Z —> 1 в формуле для тиц, J Пее1пЛ Случай кулоновского рассеяния иона на электронах более труден для рассмотрения, поскольку предположение v\ > Vj бо- более несправедливо. Рассмотрим случай, когда пробная частица с массой М и скоростью vs сталкивается с полевой части- частицей массы га. В системе центра масс, в которой сам центр масс неподвижен, полевая частица га движется со скоростью ^с = -Mvs/(M + га), а пробная частица М — со скоростью ^s — ^с = mvs/(M + га) (см. рис. 2.9). Так как полные импульс • т а б Рис. 2.9. Упругое столкновение пробной частицы М и полевой частицы m: a — в лабораторной системе; б — системе центра масс и кинетическая энергия двух частиц в процессе упругого соуда- соударения сохраняются, то их скорости не меняются по величине, так что в системе центра масс частицы просто отклоняются в своем движении на угол в. Скорость v\ и угол рассеяния ф пробной частицы в результате соударения в лабораторной системе коор- координат (см. рис. 2.9) таковы, что 2 / \2 , 2 , о/ \ л 2(М + 2Mmcos9 + т2) vf = (vs - vcy+vZ+2(vs - vc)vc cos<9 = v;±^J (M + m) m sin 9 §2.6. Время кулоновских столкновений, инжекция атомов 39 Обозначив импульс и кинетическую энергию пробной частицы до и после столкновения через ps, Es и pf, E\ соответственно, находим АЕ Шт Усреднив по в, получим в случае т/М <С 1 следующие соотно- Ш6НИЯ /^\ ~ ^т /^Н\~ т Из вышесказанного следует, что обратное время столкно- столкновения 1/т1ец тяжелого иона с легкими электронами примерно в т[/те раз меньше, чем l/rei|| и равно [1,2] 1 гаР Обозначив продольную и поперечную компоненты импульса пробной частицы через рц и р± соответственно, а энергию — через Е, имеем: dp2\ rt dE Л фи dt dt " dt ' Определим характерное время изменения скорости т± в на- направлении, перпендикулярном направлению начального импуль- импульса, и характерное время релаксации энергии те соотношениями dt ~ т±' dE _ Е ~dt = "т7* В предположении v > Vj, величины 1/т± и \/те равны соответ- соответственно [1] 1 _^*2гг*1пЛ_дУ2пЧпЛ B.23) тх 2-!re2)v(mvJ \_ _ д2д*2п*ЫЛ _ д2д*2п*ЫЛ т€ 4nelm*v(mv2/2) 2ne2)mm*v3' При электрон-ионном столкновении 1 2 , B.24) reii. Teill 40 Гл. 2. Характеристики плазмы 1 к ^ А. B.25) Tei ГП\ rei|| В случае электрон-электронного и ион-ионного столкновений находим, что 1 1/12 1. B_26) Тее± Тее|| 1 1 B.27) ^Г" ~ ~' <2-28> Л « —. B.29) ГЦ Гц В случае столкновений иона с электронами верны следующие соотношения [1]: 1 Z2e4ne\nA me t Z2e4nelnA 4 гае 1 me 2,77 /0 on -e т-ie6 4тгб2тУ2(/сТеK/2 3BтгI/2 т{ тщ m{ ге,ц ' где ?j = C/2)«Ti — кинетическая энергия иона. Обратное вре- время столкновения называется частотой столкновений и обо- обозначается через и. Длина свободного пробега вводится как Л = З'/Vt. В плазму поперек магнитного поля могут быть инжекти- инжектированы пучки высокоэнергичных нейтральных частиц (атомов, реже — молекул). В результате процесса ионизации или пере- перезарядки на ионах плазмы нейтральные частицы превращаются в высокоэнергичные ионы. Высокоэнергичные ионы (масса кото- которых ть, электрический заряд Zbe, энергия Еъ), проходя через плазму, тормозятся в результате кулоновских соударений с иона- ионами (muZ[) и электронами (гае,— е) плазмы; тем самым, энергия пучка передается плазме. Этот метод называют нагревом при помощи инжекции быстрых нейтралов. Скорость изменения энергии быстрого иона, т. е. скорость нагрева плазмы, равна dt тй rbV § 2.7. Убегающие электроны, поле Драйсера 41 J_ _ {ZheJ(Zxef In An{ так что [3] dEb = Zb2в4 In Лпе Лр me п^ 4 /meEb \3/2А /2 32) Эта формула справедлива, когда скорость иона пучка v\> много меньше (например, в 3 раза), чем тепловая скорость электронов, и много больше (например, в 2 раза), чем тепловая скорость ионов плазмы. Первый член в правой части отвечает столкнове- столкновениям частиц пучка с ионами, а второй — с электронами. Крити- Критическая энергия Есг иона пучка, при которой ионы и электроны плазмы нагреваются с одной скоростью, равна ^ = Есг = 1 где Ль, А[ — атомные веса инжектируемого иона и ионов плазмы соответственно. Если энергия инжектируемого иона превышает ?"сг, то доминирует нагрев электронов. Время торможения ион- ионного пучка рассчитывается как t -dEb тьее1 (*^(E\V2\ Tslowdown — ,^E /^ч = y-g ln I A + \Ё~) ) ' J_ Z2nee4 Ы Л me ,~ ъд\ где rbe — время релаксации энергии ионов пучка на электронах.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Время кулоновских столкновений, инжекция быстрых нейтральных атомов» з дисципліни «Основи фізики плазми і керованого синтезу»
