Теперь обратимся к квантовой физике. Исследуем стационарные состояния электрона в кулоновской потенциальной яме, то есть решим следующие задачи. 1) Определить условия, при которых стационарные состояния электрона в кулоновской потенциальной яме являются связанными, то есть условия рождения атома. 2) Определить энергетический спектр электрона в атоме, то есть получить формулу квантования энергии электрона в атоме. 3) Определить пси-функции, описывающие стационарные состояния электрона в атоме. 4) Исследовать форму пси-поля электрона, находящегося в атоме в связанных стационарных состояниях, и распределение координат электрона. Схема исследования стационарных состояний рассмотрена в главе 5. Поэтому, следуя этой схеме, начинать решение поставленных задач надо с решения стационарного уравнения Шрёдингера. Это уравнение имеет в данном случае вид: . (7.2) К сожалению, данное уравнение не является одномерным, хотя потенциальная энергия электрона и зависит только от одной переменной r. Дело в том, что эта переменная – не какая-то одна декартовая координата электрона, и поэтому записать оператор Лапласа ( в виде нельзя. В данной ситуации наиболее целесообразно использовать не декартовую, а сферическую систему координат – именно в сферической системе одной из координат является расстояние от центра r. Оператор Лапласа в этой системе имеет вид: , (7.3) где оператор называется угловой частью оператора Лапласа и определяется следующим выражением: . (7.4) Подстановка (7.3) и (7.4) в (7.2) даёт очень непростое трёхмерное дифференциальное уравнение, которое мы даже не будем записывать. Надо найти какой-то путь упрощения этого дифференциального уравнения. Идеальным было привести его к одномерному. Одним из методов приведения трёхмерного дифференциального уравнения к нескольким одномерным является метод Фурье. Он состоит в том, что решение дифференциального уравнения ищется в виде произведения функций, зависящих от разных переменных. В нашем случае пси-функция (E – это функция от сферических координат электрона (r, (, (), поэтому будем искать решение стационарного уравнения Шрёдингера (7.2) в виде следующего произведения: . (7.5) Функцию C® будем называть радиальным множителем, а Y((, () – угловым множителем пси-функции. Подстановка (7.5) в (7.2) с учётом (7.3) и (7.4) даёт: . (7.6) Поделив это уравнение на (E = YC и умножив на r, получим: . (7.7) В левой части этого уравнения – сумма двух независимых слагаемых. Первое из них (с квадратной скобкой) является функцией только от r. Второе – является функцией только от ( и (. Такая сумма может быть равной нулю для всех значений r, (, ( лишь при условии, что слагаемые представляют собой две противоположные по знаку константы: . Это можно записать в виде следующих двух независимых уравнений: , (7.8) . (7.9) Рассмотрим сначала первое из этих уравнений – (7.8). Сам вид его говорит о том, что это – уравнение на собственные функции оператора , а число ( – собственное число оператора . Решать уравнение (7.8) нет никакого смысла, оно настолько универсальное, что надо только взять справочник по математике и переписать из него результат. И результат этот таков. Решениями уравнения (7.8) являются так называемые сферические функции, которые выражаются следующей формулой: , (7.10) где l – целое положительное число, m – тоже целое число, но не обязательно положительное, Al,m – нормировочный множитель. Сферические функции нормируют на единицу, что означает – , (7.11) При этом нормировочный множитель Al,m равен . (7.12) Спектр собственных чисел оператора – дискретный и описывается формулой . (7.13) На этом можно было бы поставить точку в вопросе решения уравнения (7.8), но интересно увидеть в этом решении, кроме математики, ещё и физику. Стационарное уравнение Шрёдингера, решением которого мы сейчас занимаемся, – это уравнение на собственные функции энергии и её оператора – гамильтониана. И вот в процессе решения появляется ещё одно уравнение на собственные функции оператора – уравнение (7.8). Не означает ли это, что стационарное состояние электрона – это состояние, собственное не только для энергии, но и ещё для какой-то физической величины, оператор которой ? Если это так, то не только угловой множитель Y((, (), но вся пси-функция (E(r, (, () должна быть собственной для оператора . И это действительно так, потому что – это оператор, действующий только на функции от ( и (, а всякая функция от r для него – всё равно, что константа. Таким образом, из (7.8) и (7.5) следует: , (7.14) Итак, что же это за величина, оператор которой ? Вот теперь можно открыть читателю одну маленькую тайну, которая была скрыта от него в третьей главе. Там говорилось, что выражение для оператора квадрата орбитального момента импульса в сферических координатах проще, чем в декартовых, но само это выражение записано не было. Теперь мы его запишем: . (7.15) Так как – это константа, то и физические величины с операторами и отличаются друг от друга лишь постоянным множителем . Следовательно и их собственные числа отличаются этим множителем. Из формулы квантования модуля орбитального момента (3.26) следует, что . (7.16) Отсюда вытекает, что собственные числа ( оператора подчиняются формуле , которая идеально совпадает с формулой (7.13). Значит, целое число l в сферических функциях (7.8) имеет ясный физический смысл – это орбитальное квантовое число. Тогда сразу возникает подозрение – а может, число m в сферических функциях – это магнитное квантовое число? Если это так, то сферические функции, а с ними и пси-функции стационарных состояний электрона являются общими собственными функциями трёх физических величин: энергии E, момента импульса L и одной из проекций момента импульса Lz. Для того, чтобы в этом убедиться, осталось лишь проверить, выполняется ли для функции (7.5) равенство . (7.17) Оператор в сферических координатах, как указывалось в третьей главе, имеет вид: . (7.18) Подстановка (7.18) в (7.17) подтверждает , (E действительно является собственной функцией оператора . Итак, решение уравнения (7.8) и его физический смысл мы разобрали. Теперь обратимся к уравнению (7.9). Оно, в отличие от (7.8) – не универсальное, но зато – одномерное (!) и очень похожее на то одномерное стационарное уравнение Шрёдингера, которое решалось в главе 5. Чтобы эти уравнения были вообще идентичными, надо лишь ввести следующее обозначение: . (7.19) В итоге уравнение (7.9) приводится к одномерному стационарному уравнению Шрёдингера: . (7.20) Это уравнение носит специальное название – радиальной уравнение, а функция R®, являющаяся его решением, называется радиальной функцией. Теперь надо решить радиальное уравнение и, так как в него входит энергия электрона E, определить те значения E, при которых это решение удовлетворяет стандартным условиям. В результате должен получиться дискретный спектр энергии и соответствующая формула квантования энергии. Мы, однако, не будем решать радиальное уравнение, так как это оказывается не очень простой процедурой, а ограничимся уже готовым решением и его обсуждением. Этому посвящён следующий параграф.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кулоновская потенциальная яма» з дисципліни «Квантова фізика»
