ДИПЛОМНІ КУРСОВІ РЕФЕРАТИ


ИЦ OSVITA-PLAZA

Реферати статті публікації

Пошук по сайту

 

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Квантова фізика

Кулоновская потенциальная яма
Теперь обратимся к квантовой физике. Исследуем стационарные состояния электрона в кулоновской потенциальной яме, то есть решим следующие задачи.
1) Определить условия, при которых стационарные состояния электрона в кулоновской потенциальной яме являются связанными, то есть условия рождения атома.
2) Определить энергетический спектр электрона в атоме, то есть получить формулу квантования энергии электрона в атоме.
3) Определить пси-функции, описывающие стационарные состояния электрона в атоме.
4) Исследовать форму пси-поля электрона, находящегося в атоме в связанных стационарных состояниях, и распределение координат электрона.
Схема исследования стационарных состояний рассмотрена в главе 5. Поэтому, следуя этой схеме, начинать решение поставленных задач надо с решения стационарного уравнения Шрёдингера.
Это уравнение имеет в данном случае вид:
. (7.2)
К сожалению, данное уравнение не является одномерным, хотя потенциальная энергия электрона и зависит только от одной переменной r. Дело в том, что эта переменная – не какая-то одна декартовая координата электрона, и поэтому записать оператор Лапласа ( в виде нельзя. В данной ситуации наиболее целесообразно использовать не декартовую, а сферическую систему координат – именно в сферической системе одной из координат является расстояние от центра r. Оператор Лапласа в этой системе имеет вид:
, (7.3)
где оператор называется угловой частью оператора Лапласа и определяется следующим выражением:
. (7.4)
Подстановка (7.3) и (7.4) в (7.2) даёт очень непростое трёхмерное дифференциальное уравнение, которое мы даже не будем записывать. Надо найти какой-то путь упрощения этого дифференциального уравнения. Идеальным было привести его к одномерному. Одним из методов приведения трёхмерного дифференциального уравнения к нескольким одномерным является метод Фурье. Он состоит в том, что решение дифференциального уравнения ищется в виде произведения функций, зависящих от разных переменных. В нашем случае пси-функция (E – это функция от сферических координат электрона (r, (, (), поэтому будем искать решение стационарного уравнения Шрёдингера (7.2) в виде следующего произведения:
. (7.5)
Функцию C® будем называть радиальным множителем, а Y((, () – угловым множителем пси-функции. Подстановка (7.5) в (7.2) с учётом (7.3) и (7.4) даёт:
. (7.6)
Поделив это уравнение на (E = YC и умножив на r, получим:
. (7.7)
В левой части этого уравнения – сумма двух независимых слагаемых.
Первое из них (с квадратной скобкой) является функцией только от r.
Второе – является функцией только от ( и (.
Такая сумма может быть равной нулю для всех значений r, (, ( лишь при условии, что слагаемые представляют собой две противоположные по знаку константы:
.
Это можно записать в виде следующих двух независимых уравнений:
, (7.8)
. (7.9)
Рассмотрим сначала первое из этих уравнений – (7.8).
Сам вид его говорит о том, что это – уравнение на собственные функции оператора , а число ( – собственное число оператора . Решать уравнение (7.8) нет никакого смысла, оно настолько универсальное, что надо только взять справочник по математике и переписать из него результат. И результат этот таков. Решениями уравнения (7.8) являются так называемые сферические функции, которые выражаются следующей формулой:
, (7.10)
где l – целое положительное число, m – тоже целое число, но не обязательно положительное, Al,m – нормировочный множитель. Сферические функции нормируют на единицу, что означает –
, (7.11)
При этом нормировочный множитель Al,m равен
. (7.12)
Спектр собственных чисел оператора – дискретный и описывается формулой
. (7.13)
На этом можно было бы поставить точку в вопросе решения уравнения (7.8), но интересно увидеть в этом решении, кроме математики, ещё и физику. Стационарное уравнение Шрёдингера, решением которого мы сейчас занимаемся, – это уравнение на собственные функции энергии и её оператора – гамильтониана. И вот в процессе решения появляется ещё одно уравнение на собственные функции оператора – уравнение (7.8).
Не означает ли это, что стационарное состояние электрона – это состояние, собственное не только для энергии, но и ещё для какой-то физической величины, оператор которой ? Если это так, то не только угловой множитель Y((, (), но вся пси-функция (E(r, (, () должна быть собственной для оператора . И это действительно так, потому что – это оператор, действующий только на функции от ( и (, а всякая функция от r для него – всё равно, что константа. Таким образом, из (7.8) и (7.5) следует:
, (7.14)
Итак, что же это за величина, оператор которой ? Вот теперь можно открыть читателю одну маленькую тайну, которая была скрыта от него в третьей главе. Там говорилось, что выражение для оператора квадрата орбитального момента импульса в сферических координатах проще, чем в декартовых, но само это выражение записано не было. Теперь мы его запишем:
. (7.15)
Так как – это константа, то и физические величины с операторами и отличаются друг от друга лишь постоянным множителем . Следовательно и их собственные числа отличаются этим множителем. Из формулы квантования модуля орбитального момента (3.26) следует, что
. (7.16)
Отсюда вытекает, что собственные числа ( оператора подчиняются формуле
,
которая идеально совпадает с формулой (7.13). Значит, целое число l в сферических функциях (7.8) имеет ясный физический смысл – это орбитальное квантовое число. Тогда сразу возникает подозрение – а может, число m в сферических функциях – это магнитное квантовое число?
Если это так, то сферические функции, а с ними и пси-функции стационарных состояний электрона являются общими собственными функциями трёх физических величин: энергии E, момента импульса L и одной из проекций момента импульса Lz. Для того, чтобы в этом убедиться, осталось лишь проверить, выполняется ли для функции (7.5) равенство
. (7.17)
Оператор в сферических координатах, как указывалось в третьей главе, имеет вид:
. (7.18)
Подстановка (7.18) в (7.17) подтверждает , (E действительно является собственной функцией оператора .
Итак, решение уравнения (7.8) и его физический смысл мы разобрали. Теперь обратимся к уравнению (7.9).
Оно, в отличие от (7.8) – не универсальное, но зато – одномерное (!) и очень похожее на то одномерное стационарное уравнение Шрёдингера, которое решалось в главе 5. Чтобы эти уравнения были вообще идентичными, надо лишь ввести следующее обозначение:
. (7.19)
В итоге уравнение (7.9) приводится к одномерному стационарному уравнению Шрёдингера:
. (7.20)
Это уравнение носит специальное название – радиальной уравнение, а функция R®, являющаяся его решением, называется радиальной функцией.
Теперь надо решить радиальное уравнение и, так как в него входит энергия электрона E, определить те значения E, при которых это решение удовлетворяет стандартным условиям. В результате должен получиться дискретный спектр энергии и соответствующая формула квантования энергии. Мы, однако, не будем решать радиальное уравнение, так как это оказывается не очень простой процедурой, а ограничимся уже готовым решением и его обсуждением. Этому посвящён следующий параграф.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кулоновская потенциальная яма» з дисципліни «Квантова фізика»

Заказать диплом курсовую реферат
Реферати та публікації на інші теми: МАКРОЕКОНОМІЧНЕ РЕГУЛЮВАННЯ ІНВЕСТИЦІЙНОГО ПРОЦЕСУ
Свидетельства отвеса и маятника
МЕХАНІЗМ ЗМІНИ МАСИ ГРОШЕЙ В ОБОРОТІ. ГРОШОВО-КРЕДИТНИЙ МУЛЬТИПЛІ...
Загальновживані слова та слова вузького стилістичного призначення
Все про стандарт CDMA


Категорія: Квантова фізика | Додав: koljan (21.11.2013)
Переглядів: 869 | Рейтинг: 0.0/0
Всього коментарів: 0
Додавати коментарі можуть лише зареєстровані користувачі.
[ Реєстрація | Вхід ]

Онлайн замовлення

Заказать диплом курсовую реферат

Інші проекти




Діяльність здійснюється на основі свідоцтва про держреєстрацію ФОП