В предыдущем параграфе была рассмотрена довольно абстрактная ситуация – пучки неизвестно откуда взявшихся абсолютно свободных частиц, на которые нигде не действуют никакие силы. В данном параграфе мы рассмотрим более реальную задачу: как ведёт себя пучок свободных частиц, когда он попадает в силовое поле. Конкретизируем задачу. Пусть где-то очень далеко установлен постоянно действующий источник моноэнергетических частиц, который генерирует узко направленный пучок с плотностью потока j. Энергия частиц в пучке E. Направим ось OX так, чтобы она была параллельна скорости частиц. Пусть, далее, в некоторой области пространства (x, x) существует тормозящее стационарное силовое поле, то есть в этой области на частицы действует некоторая консервативная сила F, направленная против оси OX, так что Fx < 0. За пределами области (x, x) частицы свободны, и никакие силы на них не действуют. Надо определить пси-функцию стационарного состояния частиц и выяснить физические явления, которые могут происходить с пучком вследствие влияния тормозящей силы F. Так как главным инструментом при исследовании стационарных состояний является стационарное уравнение Шрёдингера, то в первую очередь надо выяснить поведение входящей в это уравнение потенциальной энергии. Консервативная сила и потенциальная энергия, как уже отмечалось, связаны между собой формулой , при этом . Тогда условие Fx < 0 означает, что в области (x, x) потенциальная энергия возрастает.
Область пространства, в которой на частицу действует тормозящая сила и потенциальная энергия увеличивается, называется потенциальным барьером.
Разность потенциальных энергий частицы на границах потенциального барьера называется высотой потенциального барьера. На рисунке 5.5 изображён потенциальный барьер произвольной формы. Высота барьера – U0, границы барьера находятся в точках x и x и разделяют пространство на три области: область ( (x < x) – до барьера, область (( (x < x < x) – барьер, область ((( (x > x) – за барьером. В областях ( и ((( частицы свободны. Пунктирными горизонтальными линиями на рисунке изображены два уровня энергии E и E. Один из них – ниже барьера (E < U0), другой – выше (E > U0). Для классической частицы с энергией E существует точка поворота x. В этой точке кинетическая энергия частицы обращается в нуль – тормозящая сила достаточно велика для того, чтобы остановить частицу. После остановки частица под действием силы F будет ускоряться в направлении этой силы, то есть в сторону, противоположную направлению оси OX. Это означает, что классический пучок частиц с энергией E < U0 отражается от потенциального барьера. Точка отражения – это точка поворота x. Потенциальный барьер Рис. 5.5 Частицы с энергией E > U0 пролетают через барьер, потеряв часть своей кинетической энергии, равную высоте потенциального барьера U0, и за барьером летят со скоростью v, несколько меньшей скорости v, с которой они подлетели к барьеру. Явление отражения от барьера наблюдается и для микрочастиц. Однако для них это явление имеет некоторые особенности. Рассмотрим последовательно два варианта задачи: E < U0 и E > U0. П.1. Энергия частиц ниже высоты потенциального барьера. Чтобы решить уравнение Шрёдингера, необходимо подставить в него конкретное выражение для потенциальной энергии U(x). В рамках поставленной задачи нам известно лишь, что U = 0 при x < x и U = U0 при x > x. Таким образом, мы можем найти выражения для пси-функции только в области ( и в области (((, то есть там, где частицы свободны. Займёмся сначала областью ((( (за барьером). Для неё стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид: . Так как E U0 < 0, то введём обозначение . При этом получаем следующее однородное дифференциальное уравнение . Решение этого уравнение уже рассматривалось в (4: . С ростом x первое слагаемое в этом выражении неограниченно нарастает. Поэтому для того, чтобы пси-функция удовлетворяла условию ограниченности, произвольная постоянная A должна быть равной нулю. В результате: . Найдём теперь концентрацию n и плотность потока частиц j за барьером. Для расчёта j используем формулу (5.52а). . Итак, концентрация частиц за барьером экспоненциально спадает до нуля. Чем больше разница между высотой барьера U и энергией частицы E, тем больше ( и тем быстрее спадает концентрация. Размер области, в которой концентрация ещё отличается от нуля, – это примерно 3/(. То, что плотность потока j равна нулю, означает, что все частицы, налетевшие на барьер, отражаются от него. Правда, в отличие от классической механики, квантовая механика не позволяет точно указать точку отражения. Микрочастицы, долетев до точки поворота x, несколько углубляются в классически недоступную область и где-то в ней отражаются – каждая в своей случайной точке. Большинство частиц отражается вблизи точки поворота, чем дальше от неё, тем частиц остаётся меньше. Именно поэтому концентрация частиц по мере углубления в классически недоступную область быстро спадает. Теперь рассмотрим область І. В этой области U = 0. Пси-функция для такого случая уже найдена – см. (5.16) и (5.43). . (5.57) При этом . Так как мы выяснили, что все частицы с энергией E < U отражаются от барьера, то . Тогда из формулы (5.48) следует, что . Тот факт, что j не зависит от x, означает, что j = j . Это позволяет определить произвольную постоянную A1. . (5.58) Итак, распределение частиц в области І выражается следующей формулой: . (5.59) В этом выражении осталась одна не определённая величина – (. В рамках поставленной задачи, когда неизвестна конкретная форма потенциального барьера, то есть функция U(x), определить ( невозможно. Но и без этого ясно, как уже обсуждалось ранее, что формула (5.59) выражает собой результат интерференции плоской волны со своим отражением – стоячую волну. П.2. Энергия частиц выше высоты потенциального барьера. При E > U решение стационарного уравнения Шрёдингера для области І остаётся тем же – (5.57), и таким же по форме становится решение стационарного уравнения Шрёдингера для области ІІІ: . (5.60) В этом выражении второе слагаемое не имеет физического смысла, так как описывает пучок частиц, летящих справа в сторону барьера. Но по условию задачи есть только один источник частиц, который находится слева от барьера. Поэтому B = 0, и в результате . (5.61) Тогда . (5.62) Желание определить постоянную A наводит на мысль – а не приравнять ли j и j? Ведь если частицы проходят через барьер, то сколько их вылетело из источника, столько и окажется за барьером. Однако с таким выводом не следует торопиться, так как не надо забывать, что мы имеем дело со случайным миром микрочастиц. Да, микрочастицы, как и классические частицы, при E > U проходят через барьер, но все ли? Не существует ли вероятности отражения от барьера? Оказывается, существует. Но, разумеется, величина этой вероятности зависит от формы потенциального барьера, то есть от функции U(x). Поэтому в следующем параграфе мы выберем конкретную и достаточно простую функцию U(x) и для этого конкретного случая определим вероятность отражения частицы от потенциального барьера. А сейчас проделаем некоторую подготовительную работу. Вероятность отражения частицы от потенциального барьера, которую мы будем называть коэффициентом отражения и обозначать буквой R, есть отношение плотности потока отражённого пучка (j(к плотности потока пучка, падающего на барьер j. Попробуем получить это отношение, не задаваясь пока конкретным выражением для U(x). Выражения для j и jуже получены ранее: . Таким образом, . (5.63) Аналогично можно определить вероятность прохождения частицы через барьер, которая называется коэффициентом прохождения и обозначается буквой D. . (5.64) Очевидно, что сумма коэффициентов отражения и прохождения должна быть равна единице. Тогда из (5.63) и (5.64) следует уравнение, связывающее (B(и (A(. . (5.65) Для однозначного определения (B(и (A( не хватает ещё одного уравнения. Но получить это уравнение можно, только выбрав конкретный потенциальный барьер. Прямоугольный (ступенчатый) потенциальный барьер Проще всего рассмотреть барьер, имеющий форму ступеньки. Его называют прямоугольным потенциальным барьером, и для него функция U(x) имеет вид: . (5.66) График этой функции показан на рисунке 5.6. Прямоугольный потенциальный барьер Рис. 5.6 Для этого барьера у нас уже получены практически все формулы. А недостающее уравнение, необходимое для определения коэффициентов B и A мы получим, используя приём, который называется сшиванием пси-функции. Суть этого приёма в следующем. Несмотря на то, что функция U(x), которая определена выражением (5.66), имеет разрыв в точке x = 0, пси-функция должна удовлетворять стандартным условиям. Это, в частности, означает, что она и её первая производная должны быть непрерывными функциями, и никакого разрыва у этих функций в точке x = 0 быть не должно. Таким образом, можно написать два равенства, которые называются условиями сшивания: . (5.67) Применение условий сшивания к пси-функциям, определяемым выражениями (5.57) и (5.60) даёт следующие два уравнения: (5.68) Постоянная A известна, она определяется заданной плотностью потока исходного пучка j см. формулу (5.58). Поэтому система уравнений (5.68) позволяет однозначно определить B и A . . (5.69) Подстановка этих выражений в (5.63) и (5.64) даёт: . (5.70) Так как уравнение (5.65) мы не использовали, то необходимо проверить, выполняется ли оно. Читателю предлагается проделать это самостоятельно. Итак, в отличие от классических частиц, микрочастицы отражаются от потенциального барьера не только тогда, когда их энергия ниже высоты барьера, но и когда их энергия выше высоты барьера. Этот факт противоречит классической механике, но зато вполне согласуется с оптикой. С точки зрения оптики потенциальный барьер представляет собой границу между двумя средами с разными показателями преломления. В самом деле, скорость частиц до барьера v и за барьером v разные, что как раз характерно для сред с разными показателями преломления. Можно даже определить относительный показатель преломления среды за барьером, разделив v на v : . (5.71) Свет, как известно, отражается от границы раздела двух сред с разными показателями преломления, поэтому нет ничего удивительного в том, что пучок микрочастиц, обладающий корпускулярно-волновыми свойствами, отражается от потенциального барьера. Мало того, оптическая аналогия порождает ещё одну идею. Дело в том, что в оптике известно – коэффициент отражения света от границы раздела двух сред не зависит от того, с какой стороны свет падает на границу. Поэтому интересно проверить, верно ли это и для микрочастиц в поле потенциального барьера. Следовательно, надо решить задачу, в которой источник частиц находится не слева от барьера, а справа. Читателю предлагается проделать это для ступенчатого барьера и убедиться, что оптическая аналогия прекрасно подтверждается – коэффициент отражения частиц не зависит от того, с какой стороны они подлетают к барьеру. С точки зрения классической механики это – вообще поразительный факт. Ведь для частиц, подлетающих к барьеру справа, он – никакой не барьер, а область, в которой частицы ускоряются, то есть ускоряющий промежуток. Поэтому совершенно невероятно, что частицы отскакивают от него. Невероятно, но – факт. И эксперименты этот факт подтверждают.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Потенциальные барьеры» з дисципліни «Квантова фізика»
