Стационарные состояния частицы в прямоугольной потенциальной яме
Реализуем описанную в конце второго параграфа схему нахождения пси-функции стационарного состояния для наиболее простой с математической точки зрения потенциальной ямы. П.1. Решение стационарного уравнения Шрёдингера. В качестве первого упрощения будем считать частицу одномерной. При этом буква x в уравнениях (5.7) и (5.8) означает одну величину – единственную координату частицы. Тогда и оператор Лапласа ( означает только вторую производную по x. В итоге стационарное уравнение Шрёдингера становится одномерным дифференциальным уравнением: . (5.9) Второе упрощение. Самым простым выражением для потенциальной энергии частицы является U(x) = const. Но это выражение не задаёт никакой потенциальной ямы, вместо ямы получается бесконечная плоская “потенциальная пустыня”. Однако из двух констант потенциальную яму соорудить уже можно: (5.10) График этой функции показан на рисунке 5.1.
Прямоугольная потенциальная яма Рис. 5.1 Таким образом, потенциальный рельеф, который определяет функция (5.10), это – бесконечная плоская “потенциальная пустыня”, в которой “выкопана” потенциальная яма глубиной U0 и шириной a. Стенки у этой ямы – отвесные, прямоугольные, поэтому она и называется прямоугольной потенциальной ямой. Приступая к решению уравнения (5.9), надо помнить, что это – уравнение на собственные пси-функции энергии, поэтому каждое из решений соответствует конкретному значению энергии E (собственному числу). В соответствии с законами классической механики запереть частицу в данной яме можно только при условии, что E < U0. В этом случае выход частицы из ямы означает, что E = T + U0 < U0, где T – кинетическая энергия частицы. Это неравенство может быть выполнено лишь при условии T < 0, чего согласно классической механике не может быть никогда. Будем надеяться, что и микрочастицу с её пси-полем можно запереть в прямоугольной яме при условии E < U0. На рисунке 5.1 энергия изображена в виде горизонтальной пунктирной линии, означающей, что в каждом стационарном состоянии энергия есть определённое число, не зависящее ни от времени, ни от координат, а зависящее только от выбранного стационарного состояния. Решим сначала уравнение (5.9) “в пустыне”, то есть найдём, какой вид имеет функция (E(x) в области x < 0 и в области x > a. Так как “в пустыне” U = const = U0, то входящая в (5.9) скобка (E U(x)) – это отрицательная константа, которую вместе со стоящим перед ней множителем удобно обозначить так: . (5.11) При этом уравнение (5.9) становится стандартным однородным дифференциальным уравнением второго порядка , (5.12) общее решение которого имеет вид: , (5.13) где A и B – произвольные постоянные. Теперь рассмотрим решение уравнения (5.9) “в яме” – в области (0, a). В этом случае U = const = 0, и входящая в (5.9) скобка (E U(x)) – это положительная константа E, которую вместе со стоящим перед ней множителем удобно обозначить так: . (5.14) Уравнение (5.9) снова становится стандартным однородным дифференциальным уравнением второго порядка , (5.15) только в нём теперь второй член входит не с минусом, а с плюсом. Это – известное дифференциальное уравнение гармонических колебаний, общее решение которого имеет вид: , (5.16) где C и D – произвольные постоянные. Теперь обобщим результаты. Решение стационарного уравнения Шрёдингера для одномерной частицы, находящейся в поле прямоугольной потенциальной ямы, следующее: . (5.17) П.2. Исследование решения стационарного уравнения Шрёдингера В решение уравнения Шрёдингера (5.17) входят четыре произвольные постоянные. Однако с точки зрения физики эти постоянные отнюдь не являются произвольными. Их нужно выбрать так, чтобы пси-функция удовлетворяла определённым физическим требованиям, которые называются стандартными условиями. Состоят они в следующем. 1). Однозначность. В каждой точке пространства пси-функция не может иметь более одного значения. С этим требованием читатель уже встречался в третьей главе при изучении квантования проекций момента импульса. 2). Непрерывность. Этим свойством обладают все реальные физические поля, поэтому естественно ожидать того же и от пси-поля. 3). Ограниченность. Это требование обычно используется в мягкой форме: пси-функции не запрещается быть бесконечно большой, но только в отдельных точках (в так называемых точках сингулярности) . Проверим пси-функцию сначала на ограниченность. В области x < 0 пси-функция определяется первым выражением в (5.17). Из этого выражения следует, что по мере уменьшения x, то есть по мере удаления от потенциальной ямы влево, первое слагаемое стремится к нулю, но второе неограниченно нарастает. Поэтому условие ограниченности пси-функции может быть выполнено только при условии, что в области x < 0 постоянная B равна нулю. В области x > a, напротив, постоянная B может быть отлична от нуля, но зато должна быть равной нулю постоянная A. Таким образом, в области x < 0 пси-функция имеет один вид, а в области x > a – другой, так что (5.17) следует переписать в следующем виде: (5.18) Анализ этого результата заставляет сделать два вывода. 1). Пси-поле частицы выходит за пределы потенциальной ямы. Это означает, что микрочастица может быть обнаружена в так называемой классически недоступной области, то есть там, где кинетическая энергия частицы отрицательна. Как ни парадоксален этот факт, но он экспериментально подтверждается. Более подробно об этом – в параграфе 9. 2). По мере удаления от ямы пси-функция экспоненциально затухает, поэтому потенциальная яма, как и ожидалось, действительно локализует пси-поле. Чем глубже потенциальная яма, тем больше коэффициент затухания пси-поля ( и тем меньше отличаются границы пси-поля от границ ямы. В пределе, когда глубина ямы U0 бесконечно велика, пси-поле и микрочастица строго заперты в потенциальной яме и не выходят в классически недоступную область. При этом пси-функция обращается в нуль уже на границах ямы, то есть в точках x = 0 и x = a. Иными словами, . (5.19) Теперь проверим пси-функцию на непрерывность. Каждое из трёх выражений, входящих в (5.18), представляет собой непрерывную функцию. Этого, однако, недостаточно – пси-функция не должна иметь разрыва в граничных точках x = 0 и x = a, то есть должны выполняться следующие два равенства: (5.20) Эти равенства носят название условий сшивания. Сделаем третье упрощение – будем считать яму бесконечно глубокой, то есть U ( (. При этом выполняются равенства (5.19), и тогда из условий сшивания следуют два граничных условия на функцию (: (5.21) Подстановка первого граничного условия в (5.18) даёт D = 0. Тогда функция ( равна: . (5.22) Из второго граничного условия следует: . Это равенство может выполниться в двух случаях. Первый случай – C = 0. При этом из (5.22) следует, что (E(x) = 0 для всех значений x. Это значит, что никакого пси-поля нет, значит нет и частицы. Решение – тривиальное. Второй случай – , (5.23) где n – целое число. Величина k связана формулой (5.14) с энергией частицы E, поэтому из (5.14) и (5.23) следует очень важный результат: при данных параметрах ямы (ширине a и глубине U ( () и данных параметрах частицы (массе m) энергия частицы является функцией целого числа n: . (5.24) Это означает что энергетический спектр частицы – дискретный, и выражение (5.24) есть не что иное, как формула квантования энергии. Входящее в эту формулу целое число n определяет собственные числа энергии и поэтому является квантовым числом. Наименьшее значение энергии (наименьшее собственное число) – это E1 (n = 1). Если n = 0, то и k = 0, тогда, как следует из (5.22), и пси-функция обращается в нуль (частицы нет). С ростом n энергия растёт, поэтому, если пронумеровать собственные числа En в порядке их возрастания, то квантовое число n как раз и будет порядковым номером собственных чисел En.
Дискретные собственные числа энергии в квантовой физике называются энергетическими уровнями. Каждый из этих уровней определяет одно или несколько квантовых состояний с определённой энергией. Эти состояния тоже называются энергетическими уровнями. Квантовое число, определяющее номер энергетического уровня, называется главным квантовым числом. В природе есть один универсальный принцип: всякий объект стремится в состояние с минимальной энергией. Это характерно и для микрочастиц – из всевозможных стационарных состояний для микрочастицы наиболее предпочтительным является состояние с минимальной энергией, то есть первый (низший) энергетический уровень. Это состояние наиболее устойчивое, поэтому, оказавшись в нём, частица не торопится уходить из него, стремясь сохранить своё состояние. Это значит, что основную часть времени частица живёт на низшем энергетическом уровне.
Стационарное состояние с минимальной энергией называется основным состоянием (основным уровнем). Все остальные стационарные состояния (уровни) называются возбуждёнными состояниями (возбуждёнными уровнями). Часто возбуждённые уровни нумеруют отдельно: второй энергетический уровень (n = 2) называют первым возбуждённым уровнем, третий уровень (n = 3) – вторым возбуждённым уровнем и так далее. Поэтому, уважаемый читатель, будьте внимательны при решении задач: номер уровня и номер возбуждённого уровня – это не одно и то же. Если на частицу действует только та консервативная и стационарная сила, которая создала потенциальную яму, то частица находится в основном стационарном состоянии. Перейти на возбуждённый уровень самопроизвольно она не может – для этого она должна получить откуда-то энергию. Это возможно, только если на частицу хотя бы кратковременно подействует ещё какая-то сила – например, при столкновении с другой частицей. В результате частица перепрыгивает на один из возбуждённых уровней, но её новое состояние (возбуждённое) – неустойчивое, и через некоторое время она самопроизвольно возвращается в основное состояние. При этом частица должна, разумеется, отдать кому-то свой избыток энергии. Например атомы при переходе в основное состояние излучают фотоны, ионы кристаллической решётки – фононы, атомные ядра – целый ряд элементарных частиц. Очень важно, что вследствие дискретности энергетических уровней частица может получать и отдавать энергию только определёнными дискретными порциями.
Дискретные порции энергии, которые частица получает и отдаёт при переходах с уровня на уровень, называются квантами энергии. Измеряя излучаемые частицей кванты, можно экспериментальным путём определить её энергетический спектр и проверить теоретически полученные формулы квантования энергии. Итак, исследование решения стационарного уравнения Шрёдингера, полученного в первом пункте, то есть выражения (5.17), позволило определить энергетический спектр частицы. Он оказался дискретным и определяется формулой квантования (5.24). Выражение для пси-функции (E(x) с учётом квантования энергии имеет следующий вид: (5.25) Что характерно для данного выражения? Во-первых, в нём вместо индекса E у пси-функции поставлен целочисленный индекс n. Это удобнее. Во-вторых, осталась неопределённой константа C. Найти её можно, используя условие нормировки пси-функции (4.11). Проделать это предлагается читателю самостоятельно. В результате получается такой результат: (5.26) Здесь ( – начальная фаза колебаний пси-функции. Как читатель помнит, (n(x) – это пси-функция начального квантового состояния. Поэтому выбор начального состояния состоит в выборе начальной фазы (. П.3. Полное выражение для пси-функции частицы. Для того, чтобы записать это выражение, осталось только умножить пси-функцию начального состояния (координатную пси-функцию) на временной множитель.
. (5.27) Исследуем теперь физический смысл полученного выражения для пси-функции (5.27). Как отмечалось в четвёртой главе, пси-функция частицы – это главная и полная характеристика квантового состояния, однако практически полезная информация, которую можно извлечь из пси-функции, – это функции распределения результатов измерения физических величин. И в первую очередь, это функция распределения координат. У одномерной частицы всего одна координата x, и её функция распределения f(x) в стационарном состоянии частицы равна квадрату амплитуды колебаний пси-функции ((n(x)(. Поэтому с практической точки зрения более полезным является исследование не (n(x), а f(x) = ((n(x)(. Из (5.27) следует, что для частицы в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме . (5.28) Графики функций распределения координат частицы f(x) для первых трёх энергетических уровней изображены на рисунке 5.2.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Стационарные состояния частицы в прямоугольной потенциальной яме» з дисципліни «Квантова фізика»
