Как отмечалось во введении, одной из фундаментальных особенностей микрочастиц является случайность. Это означает, что результаты измерения физических величин, характеризующих микрочастицу, случайны и потому непредсказуемы. Следовательно, непредсказуемо и классическое состояние микрочастицы, то есть набор классических функций состояния – координат и проекций импульсов. Поэтому были предприняты поиски другого способа описания состояния – такого, при котором состояние было бы предсказуемым. В основу этого способа и положен первый постулат квантовой механики, согласно которому существует такая функция координат частицы и времени ((x, y, z, t), называемая пси-функцией, которая полностью характеризует квантовое состояние частицы. Поэтому и само квантовое состояние частицы удобно обозначать той же буквой (. Второй постулат квантовой механики даёт правило нахождения пси-функции, то есть точного предсказания состояния микрочастицы для любого момента времени при условии, что известно её начальное состояние. Правило это состоит в том, что пси-функция является решением дифференциального уравнения, которое называется уравнением Шрёдингера и имеет вид: , (4.1) где – оператор полной энергии (гамильтониан). Но что полезного даёт знание пси-функции? Иными словами, какую информацию содержит в себе пси-функция? Ответ на этот вопрос таков: Пси-функция содержит информацию о распределении случайных результатов измерения координат частицы. Пусть для простоты частица обладает только одной степенью свободы, то есть она – одномерная, и её классическое состояние описывается только одной координатой x и одной компонентой импульса px. И пусть стоит задача измерить координату частицы. Для этого придумана некоторая процедура, которую можно повторять сколько угодно раз. При этом, разумеется, предполагается, что всякий раз эта процедура применяется к одной и той же частице, находящейся в одном и том же квантовом состоянии (, или к абсолютно одинаковым частицам, находящимся в одинаковых квантовых состояниях (. Как обеспечить выполнение этого условия, мы не будем пока обсуждать. Так вот, проведя измерения координаты частицы N раз, мы получим N собственных чисел координаты, среди которых некоторые, возможно, совпадают, но это будет исключением из правила. Правило же состоит в том, что результаты измерения в серии – разные. Предсказать результат очередного (N+1)-го эксперимента невозможно, но можно поставить вопрос: какова вероятность (W(x) того, что этот результат будет лежать в некотором малом интервале (x; x+(x) ? Если число проделанных экспериментов N достаточно велико, то можно подсчитать долю тех случаев, когда результат измерения попадал в интервал (x; x+(x). Эта доля и будет (W(x). Таким образом, ответ на поставленный вопрос можно найти экспериментально, то есть вероятность (W(x) можно измерить. А можно ли рассчитать эту вероятность теоретически? Ясно, что с увеличением ширины интервала (x вероятность (W(x) увеличивается, а при уменьшении (x вероятность (W(x) уменьшается, причём при (x(0 точно так же (W(x)(0. Поэтому при достаточно малых (x должна наблюдаться пропорциональность между (W(x) и (x: . (4.2) Коэффициент пропорциональности в этой формуле должен в общем случае как-то зависеть от того значения x, в окрестности которого располагается интервал (x, поэтому он и обозначен как функция от x, то есть f(x). Тем, кто знаком с теорией вероятностей, эта функция знакома. Она называется функцией распределения случайной величины x или её плотностью вероятности. Итак, зная функцию распределения, можно рассчитать (W(x) теоретически – по формуле (4.2) – при условии, что (x – достаточно малое число, то есть . Если (x – не маленькое число, то и в этом случае функция распределения позволяет определить величину (W: вероятность W(x1, x2) попадания результата измерения координаты x в некоторый интервал (x1; x2) определяется путём вычисления интеграла , (4.3) где интегрирование ведётся по всей области собственных чисел координаты x. А теперь – самое главное: Зная пси-функцию, характеризующую квантовое состояние частицы, можно найти функцию распределения координаты x частицы f(x) по формуле: . (4.4) Тот факт, что пси-функция зависит не только от координаты x, но ещё и от времени, означает, что при изменении состояния частицы изменяется её пси-функция и, следовательно, должна измениться и функция распределения координаты . Поэтому-то при обсуждении процедуры измерения x и (W(x) и ставилось обязательное условие – в каждом из экспериментов серии частица должна быть одна и та же и в одном и том же квантовом состоянии (, или объектом эксперимента является группа совершенно одинаковых частиц, находящихся в одинаковых квантовых состояниях (. Обобщение изложенных фактов на трёхмерную частицу. Функция распределения координат частицы f(x, y, z) позволяет находить две вероятности. Во-первых, (W(x, y, z) – вероятность попадания координат частицы в малые интервалы (x; x+(x), (y; y+(y) и (z; z+(z). Эта вероятность определяется по формуле . Здесь (x(y(z – это объём (V маленького прямоугольного параллелепипеда, расположенного в окрестности точки в пространстве с координатами (x, y, z). Его обычно называю более кратко – элементарный объём. Так как термином “частица” мы называем материальную точку, то факт попадания координат частицы в элементарный объём можно трактовать как попадание самой частицы в элементарный объём. Итак, вероятность (W(x, y, z) попадания частицы в элементарный объём (V в окрестности точки с координатами (x, y, z) равна . (4.5) Вторая вероятность, которую можно вычислить, зная функцию распределения координат, это – вероятность W попадания координат частицы в конечные интервалы, то есть вероятность W(A) попадания частицы в произвольную область пространства A. Эту вероятность можно определить, вычислив объёмный интеграл , (4.6) где интегрирование ведётся по всей области A. И наконец, Функция распределения координат частицы f(x, y, z) связана с пси-функцией частицы формулой . (4.7) Пси-функция в различных представлениях и функции распределения результатов измерения физических величин Знание пси-функции позволяет определить функцию распределения координат частицы. Но кроме координат есть и другие классические функции состояния. И они тоже подчиняются закону случайности: результаты их измерения – это случайные величины. Значит, во-первых, если в квантовой механике существует правило нахождения функции распределения координат, то должно существовать и правило определения функции распределения всякой физической величины. Во-вторых, это правило должно быть универсальным, то есть одинаково применимым к любой паре независимых физических величин. Почему именно “независимых”? — Потому, что для зависимых величин в теории вероятностей существуют формулы, связывающие их функции распределения. Если y и x – две случайные величины, связанные друг с другом функциональной зависимостью, и известна функция распределения одной из них, например, f1(x), то функция распределения другой f2(y) связана с f1(x) формулой: . (4.8) Пример. Пусть x – случайная величина с нормальным распределением. Это значит, что её функция распределения имеет вид: , где ( – параметр распределения, не зависящий от x. И пусть y – случайная величина, связанная с x линейной зависимостью y = bx. Тогда , и функция распределения величины y имеет вид: . Ясно, что распределение величины y – тоже нормальное, только его параметр равен не (, а b(. Если случайные величины – независимые, то и их функции распределения никак не связаны друг с другом. Поэтому зная одну из этих функций, невозможно найти другую с помощью теории вероятностей. Итак, в квантовой механике должно быть универсальное правило нахождения функций распределения независимых физических величин. И чтобы найти это правило, надо просто обобщить формулу (4.7). Для этого придётся сделать вывод, что кроме пси-функции, зависящей от координат частицы, существуют и другие пси-функции, зависящие от других физических величин, которые характеризуют классическое состояние частицы. Для того, чтобы не отменять первый постулат квантовой механики, все эти пси-функции называют одной и той же пси-функцией, но в разных представлениях. Функция ((x, y, z, t) – это пси-функция в координатном представлении, ((px, py, pz, t) – пси-функция в импульсном представлении и так далее. Функция распределения любой физической величины F, характеризующей частицу, связана с пси-функцией частицы в F-представлении формулой . (4.9) Два замечания к этой формуле. Во-первых, она справедлива не только для физических величин с непрерывным спектром, но и для величин с дискретным спектром. Только в последнем случае функцией распределения f(F) является не плотность вероятности, а функция вероятности, которая сопоставляет каждому из дискретных собственных чисел физической величины вероятность того, что именно это собственное число будет результатом измерения данной физической величины. Иными словами, если F1 – одно из собственных чисел физической величины F, то f(F1) – это вероятность того, что результатом измерения величины F будет число F1. Во-вторых, как найти пси-функцию частицы в F-представлении? – Для этого существуют два рецепта. Первый рецепт – универсальный: решение уравнения Шрёдингера. Второй постулат квантовой механики применим к пси-функции в любом представлении, только вот гамильтониан в разных представлениях имеет разный вид. Второй рецепт – найти пси-функцию в координатном представлении, решив уравнение Шрёдингера с гамильтонианом в координатном представлении , (4.10) а затем перейти от этой пси-функции к пси-функции в F-представлении. Оба рецепта дают один и тот же результат, но чтобы этими рецептами воспользоваться, надо знать правила преобразования операторов и функций при переходе от одного представления к другому. Эти правила есть по сути те же самые правила, по которым в линейной алгебре преобразуются матрицы и векторы при переходе от одного базиса к другому. В рамках данной книги, однако, они нам не понадобятся, так как мы ограничимся отысканием и исследованием только функций распределения координат частицы. В заключение приведём одно важное свойство пси-функции. Как известно в теории вероятностей, функции распределения нормированы на 1. Это значит, что функция распределения f(x) непрерывной случайной величины x (плотность вероятности) подчиняется так называемому условию нормировки: , Для функции распределения дискретной случайной величины (функции вероятности) условие нормировки выражается не интегралом, а суммой: . Смысл условия нормировки прозрачен – вероятность того, что значением случайной величины окажется любое число из области определения этой величины, равна 1. Выражая функцию распределения физической величины через пси-функцию, получим условие нормировки пси-функции. Для физической величины с непрерывным спектром (например, для координаты x): , (4.11) а для физической величины с дискретным спектром . (4.12)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Пси-функция и функция распределения координат» з дисципліни «Квантова фізика»
