Оператор называется суммой двух операторов и и обозначается , если для любой функции ((x) выполняется равенство . (2.7) Пример 1. Оператор так действует на функцию ((x) = x: . Вычитание операторов определяется аналогично. Пример 2. Оператор действует на ту же функцию ((x) = x, что и в примере 1, следующим образом: . Ясно, что операция сложения операторов коммутативна (перестановочна), а операция вычитания – антикоммутативна. На языке формул это означает:
Интересно, что при сложении (вычитании) операторов их ядра и матрицы тоже складываются (вычитаются). Ядра складываются (вычитаются) как числа, а матрицы – по известным правилам сложения (вычитания) матриц.
Оператор называется произведением двух операторов и и обозначается , если для любой функции ((x) выполняется равенство . (2.8) Оператор так действует на произвольную функцию ((x): сначала на эту функцию действует оператор , а затем на получившуюся функцию действует оператор . Пример 3. . В отличие от умножения чисел операция умножения операторов в общем случае некоммутативна. Это значит, что операторы и – в общем случае разные операторы. Пример 4. Если операторы в примере 3 переставить местами, то в результате получится другой оператор: .
Два оператора и называются коммутирующими или коммутативными, если , в противном случае операторы и называются некоммутирующими или некоммутативными. Мерой коммутативности двух операторов является так называемый коммутатор. Это оператор, который обозначается и определяется формулой: . (2.9) Ясно, что коммутатор двух операторов равен нулю, только если это коммутирующие операторы. И снова отметим весьма интересный факт: при умножении операторов их ядра и матрицы тоже умножаются. Правило их умножения – это известное правило умножения матриц – “строка на столбец”. При этом формула умножения такова: . (2.10) Если аргумент x непрерывный, то вместо суммы надо писать интеграл: . (2.11) За доказательством этого факта любознательный читатель может обратиться к учебникам по линейной алгебре. Кроме сложения, вычитания и умножения с операторами можно производить ещё три операции: комплексное сопряжение, транспозицию и эрмитовое сопряжение.
Оператор называется оператором, комплексно сопряжённым оператору , и обозначается , если ядро оператора – это функция, комплексно сопряжённая ядру оператора . . (2.12) Из этого определения следует, что, если оператор – комплексно сопряжённый оператору , то верно и обратное: оператор – комплексно сопряжённый оператору .
Если транспозиция матрицы оператора превращает её в матрицу оператора , то операторы и называются операторами, транспонированными друг другу. Обозначаются транспонированные операторы так же, как и транспонированные матрицы: . (2.13) В этой формуле применено краткое обозначение матричных элементов: . Как уже отмечалось, матричная терминология применяется в квантовой механике и для операторов, действующих на функции непрерывного аргумента. В этом случае для определения транспонированных операторов нельзя использовать краткие обозначения матричных элементов, и формулу (2.13) следует писать в виде: . (2.14)
Оператор называется оператором, эрмитово сопряжённым оператору , и обозначается , если (2.15) Иными словами, применение к оператору операции эрмитового сопряжения означает последовательное применение двух операций: комплексного сопряжения и транспозиции. Порядок следования этих двух операций не имеет значения. Нетрудно догадаться, что . (2.16)
Оператор называется самосопряжённым или эрмитовым, если (2.17)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Алгебра линейных операторов» з дисципліни «Квантова фізика»
