Оператором называется функция, областью определения и областью значений которой является множество числовых функций. Иными словами, это правило, по которому каждой числовой функции сопоставляется какая-то другая числовая функция. В квантовой механике операторы чаще всего обозначаются буквами со шляпками: и так далее. Простейшее математическое выражение, содержащее оператор, выглядит следующим образом: . Смыл этого выражения в том, что оператор сопоставляет функции ((x) функцию ((x). При этом говорят так: оператор действует на функцию ((x), и получается функция ((x). Рассмотрим несколько примеров операторов. А) Оператор дифференцирования. Он обозначается так: . Результатом действия этого оператора на произвольную функцию ((x) является производная от этой функции по её аргументу x. Например: . Б) Оператор умножения. Этот оператор умножает всякую функцию ((x) на некоторую фиксированную функцию ((x). Он так и обозначается: . Например, оператор умножения на sin(x) обозначается: и действует так: . Оператор всякую функцию, на которую он действует, умножает на 2.
Оператор называется линейным, если для любых двух функций ((x) и ((x) и любых двух чисел a и b выполняется равенство (2.1) Практически все операторы, которые используются в квантовой механике – это линейные операторы. Представители линейного оператора Все числовые функции можно разбить на два типа: функции непрерывного аргумента и функции дискретного аргумента. В соответствие с этим существуют операторы, трёх типов: операторы первого типа действуют только на функции непрерывного аргумента, операторы второго типа действуют только на функции дискретного аргумента, наконец, операторы третьего типа действуют как на функции на функции непрерывного, так и на функции дискретного аргумента. Например, оператор дифференцирования относится к первому типу, а оператор умножения – к третьему типу. Теорема 1. Для всякого линейного оператора , действующего на функции непрерывного аргумента, существует такая функция от двух непрерывных аргументов , называемая ядром оператора , что для всякой функции непрерывного аргумента выполняется равенство , (2.2) где интегрирование ведётся по всей области определения функции . Эта теорема означает, что определить результат действия оператором на произвольную функцию непрерывного аргумента можно двумя способами – либо непосредственным действием оператора, либо интегрированием. Интегрирование может оказаться более удобным, если вид оператора неизвестен, зато известно его ядро. Поэтому ядро линейного оператора называют его представителем. Теорема 2. Для всякого линейного оператора , действующего на функции дискретного аргумента, существует такая функция от двух дискретных аргументов , называемая ядром оператора , что для всякой функции дискретного аргумента выполняется равенство , (2.3) где суммирование ведётся по всей области определения функции . Если все значения функции дискретного аргумента выписать в виде столбика, то этот столбик можно понимать как вектор, заданный своими компонентами. В квантовой механике этот вектор принято обозначать так : . (2.4) Так как пси-функция в квантовой механике определяет некоторое состояние объекта, то вектор носит название вектора состояния. Если функции и , входящие в выражение (2.3), понимать как векторы и , то выражение (2.3) полностью совпадает с формулой умножения вектора на матрицу , где в роли матрицы выступает ядро оператора: . (2.5) Так как матрица – это то же ядро , только записанное в виде таблицы, то матрица оператора также является его представителем. Понимая функции, на которые действует оператор , как векторы, можно всякое равенство, куда входят функции и линейные операторы (операторное равенство) записывать в матричной форме. Например, . (2.6) Матричные выражения и уравнения часто гораздо более удобны, чем операторные, поэтому ими пользуются даже в том случае, когда функции в операторных выражениях являются функциями непрерывного аргумента. Итак, у каждого линейного оператора есть два представителя – ядро и матрица, и действие оператора на произвольную функцию можно записать либо с помощью ядра (в виде интеграла или суммы), либо с помощью матрицы (в виде умножения матрицы на вектор). Векторы состояний тоже естественно назвать представителями пси-функций, на которые действуют линейные операторы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Понятие линейного оператора» з дисципліни «Квантова фізика»
