Выше мы по- лучили нелинейное модельное уравнение для возмущений в слабодисперсирующей среде, отталкиваясь от дисперсионного уравнения для линейных возмущений гипер- болического типа 1) Подробнее об "аномальном" сопротивлении сказано в п. 8.4.4 8.3. Модельные уравнения "автономных" плазменных структур 445 2000 х,км U2 = Рис. 8.3.6. Профиль магнитного поля во фронте косой (в ~ 60°) межпланет- ной ударной волны с числом Маха М = 2,5 по измерениям на борту спутни- ка ISEE 26 октября 1977 г. Отношение газокинетического давления к магнит- ному C^3. Толщина ударного фронта А ~ 90 км, что составляет примерно 2c/ujpi (Russel СТ., Greenstadt E.W. "Report of Inst. of Geophys. and Planet Phys.", 1978 №1847) Б. А. Трубниковым и С. К. Ждановым была построена и исследована модельная нелинейная система уравнений, исходя из другого дисперсионного уравнения для линейных возмущений эллиптического типа 4 (8.3.13) V=o(x4) Если уравнение КдФ, соответствующее (8.3.3) описывает не только динамические, но и стационарные конфигурации, то уравнения, соответствующие (8.3.13), описывают только принципиально динамические конфигурации. В качестве модели указанными авторами было предложено взять систему двух 0 уравнений гидродинамики с отри- цательным давлением. dp* dv о i/0 . ч —г- = — p*divv; —- = ckqvpj . (8.3.14) at at Здесь звездочка около р поставлена с целью подчеркнуть, что в конкретных рассмат- риваемых неустойчивостях роль плотности могут играть весьма различные парамет- ры. Система уравнений типа (8.3.14) впервые появилась в 1896 г. в работе С. А. Ча- плыгина, в которой рассматривалась динамика идеального газа с аномальной зави- симостью давления от плотности = Po (8.3.15) Очевидно, она будет удовлетворять системе (8.3.14) при q = —1/2, Cq =poPo- В своих работах Трубников и Жданов показали, что к системе (8.3.14) сводится при тех или иных допущениях большое число неустойчивостей. Некоторые из них приведены в таблице 8.1. Важной особенностью системы уравнений Чаплыгина-Трубникова является то, что в двухкоординатных случаях (?, х) или (х, у) она может быть сведена с помощью преобразования Лежандра, т.е. перехода от искомых функций p*(t,x), v(t,x) к иско- мым функциям t = ?(р*, v), х = х(р*, v) к одному линейному дифференциальному уравнению второго порядка. Это уравнение для некой функции ф(р, v, ф) - pmt(p, v, ф), (8.3.16) которая удовлетворяет уравнению Лапласа 1) Возможность описания гиперболических возмущений одним уравнением КдФ объясняет- ся разлагаемостью си2 — cl>c2 на вещественные множители, соответствующие волнам, идущим в противоположных направлениях.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неустойчивости типа Чаплыгина-Трубникова» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
