Распространение солитонов есте- ственно сопровождается их затуханием, которое уже отметил сам Рассел. В разных условиях механизм этого затухания может быть разный: вязкость, классическое сопротивление в плотной плазме, "аномальное" сопротивление в редкой плазме О и т.д. Естественный — и простейший учет диссипации сводится к добавлению к клас- сическому КдФ диссипативного члена вязкостного типа дЛ + идЛ+13д^ = р^ (8310) ot ох ох1 ох1 Выше мы рассматривали только стационарные решения типа и = f(x — at) и получили либо периодические решения, либо одиночный солитон. Если и для уравнения (8.3.10) искать стационарные решения, то получим после однократного интегрирования (8.3.11) dx2 dx dw uz -^— = аи —— ou 2 Если сопоставить х —> г, и —> ?, то это выражение можно рассматривать как уравне- ние колебаний материальной точки с массой c§j2k\ в потенциальной яме w(?) при наличии трения. Начав движение при г —> —оо в точке ? = 0, частица сваливается в яму, постепенно теряя энергию, и останавливается при г —> +оо при & =и^=2а. (8.3.12) На рис. 8.3.5а изображено движение эффективной частицы в яме, а на рис. 8.3.56 и рис. 8.3.5в изменения и в зависимости от х. Видно, что мы явно получаем струк- туру ударной волны. Обращает на себя внимание осцилляторный характер перехода от одного состояния в другое. При этом, в зависимости от знака дисперсионной поправки в (8.3.10), осцилляции могут предшествовать основному спаду и, а могут опережать этот спад. На рис. 8.3.2 изображено экспериментально определенное изменение плотности в "бесстолкновительной" ионно-звуковой ударной волне. Соот- ветствие рис. 8.3.5 и рис. 8.3.2 очевидно. Рис. 8.3.5. Затухание колебаний в потенциальной яме (а) и ударные волны в средах с отрица- тельной (б) и положительной (в) дисперсиями
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Учет затухания в уравнении КдФ» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
