Анализ устойчивости МГД конфигураций энергетическим методом
Суть этого метода предельно проста и ана- логична анализу устойчивости равновесных состояний материальной точки в потенци- альном поле (рис. 8.2.1). А именно, если по возможным направлениям, исходящим о ^ а , ч из точки покоя, потенциал нарастает, то Рис 8.2.1. Устойчивые (а) и неустойчивые Л ^ (б) положения равновесия шарика в потен- положение частицы устойчиво. И наоборот, иальном поле если есть направления, по которым потенциал убывает, то положение покоя неустойчиво. И этот способ анализа устойчивости не требует решения уравнений динамики, что часто существенно упрощает проблему. Чтобы дальнейшее изложение было более прозрачно, отметим простой факт из линейной алгебры в n-мерном пространстве. Если даны п линейных форм \i = 2_\aikxky 1 ^ г, fc ^ П, (8.2.1) (к) то для того, чтобы существовал "потенциал" U(xi...xw), порождающий эти формы Xi = У2агкХк = о—, и=У2 o(Xiaikxk), (8.2.2а) необходимо и достаточно, как легко непосредственно убедиться, чтобы матрица была симметричной а1к = аы. (8.2.26) Из этого равенства следует соотношение "самосопряженности" матрицы А yi(aikxk) = Xi(aikyik). (8.2.3a) Или в векторной форме ^ ^ у(Ах) = (Ау)х (8.2.36) свойство самосопряженности оператора А автоматически переносится в пространство функций в виде [ ф(Аф)Aх = I* (Аф)фAх. (8.2.4) Если теперь мы имеем систему линейных дифференциальных уравнений ^ ,...ф2), (8.2.5а) и оператор L самосопряженный, то такую систему можно получить из лагранжиана -и'М' (8-2-5б) 430 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем варьируя действие S = I ?dt. Здесь w [ф\ — функционал, играющий роль потенциальной энергии системы, равный (8.2.6) Зная вид функционала w [ф] и доказав его положительную определенность для любых ф(х), мы получаем достаточное условие устойчивости статической конфигу- рации. В принципе, условия положительной определенности w для всех возможных ф не требуется, поскольку реально надо было бы ограничиться только теми ф, которые удовлетворяют уравнению (8.2.5а). Но это потребовало решения этого уравнения, и тогда энергетический подход потеряет смысл. Рис. 8.2.2. Общая схема магнитной ловушки для плазмы: Vi — объём, занятый плазмой; Ve — объём, занятый только магнитным полем; S — граница раздела плазма-поле; Г — внешняя гра- ничная поверхность В связи с проблемой УТС исследовалась устойчивость систем, состоящих из плазмы и магнитного поля, рис. 8.2.2. Здесь Vi — объём занятый плазмой и полем, S — граница раздела плазма-поле, Ve — объём, занятый только магнитным полем, Г — внешняя граничная поверхность. На этой границе обычно ставятся условия vn = 0; Et = 0, (8.2.7) а на границе раздела плазма-поле — Нп = 0. (8.2.8) Линеаризуя обычную идеальную систему МГД уравнений B.3.6), получаем ^| + Vp = i- [rot Но, Н] + i- [rot H, Но]; д т 4п 4п (8.2.9) т- + vVpo + TPodiv v = 0; f = rot[v,H0]. Здесь возмущения параметров выписаны без индексов. Не касаясь сравнительно громоздких вычислений, приведем вытекающие из (8.2.9) уравнение для смещений ? = J vdt d2t I P°g^ = V ^V^o + TPodiv^} + — [rot Ho, rot [§, Ho]] + + -i- [rot rot [§, Ho], Ho] = L {$} . (8.2.10) 4тг 8.2. Примеры специфических МГД возмущений плазменных систем 431 И, наконец, выражения для потенциальной энергии возмущения [200]: 1 w = - Здесь ? — смещение и А — возмущение вектор-потенциала. Чтобы убедиться в устойчивости или неустойчивости данной равновесной конфи- гурации (ро, ро, Но) надо проверить знак w для всех возможных ?()• Разумеется, это совсем не просто, и такой анализ удается провести в сравнительно небольшом числе случаев и то, как правило, для определенного класса ?, считаемых по тем или иным признакам наиболее опасными. Тем не менее, таким образом был получен ряд весьма важных критериев устойчивости. Здесь мы опишем схему вывода одного такого критерия. Устойчивость резкой (тонкой) границы плазма-поле. Плазменные системы, в которых плазма и поле пространственно разделены, встречаются достаточно ча- сто. Такими являются антипробочные ловушки и галатеи, Z- и #-пинчи, а также динамические системы, в которых плазменный поток без магнитного поля омывает магнитную конфигурацию. Примером последней приближённо может служить маг- нитосфера Земли, обтекаемая солнечным ветром (раздел 9.2). В этом случае выражение для потенциальной энергии (8.2.11) существенно упро- щается и принимает вид: w = I |7(div§Jpodx+ ^ | (rot AJdx + ^ | ^ vt ve So Отсюда видно, что если напряженность магнитного поля при удалении от границы раздела всюду нарастает, т. е. Я Я2 ^>0, (8.2.13) on то w > 0 и конфигурация устойчива при любых смещениях ?. Однако, если существуют участки поверхности So, где дЩ/дп < 0, то в этих местах будут возникать выбросы плазмы, несмотря на то, что первые два члена в (8.2.12) всегда положительны. Действительно, если взять возмущение, не сопро- вождающееся сжатием плазмы, а такой выбор ничему не противоречит, то будет div? = 0 и первый член в (8.2.12) исчезнет. Избавиться от второго члена полностью нельзя, но если взять возмущение, вытя- нутое вдоль силовой линии и достаточно узкое, то есть в виде "языка", пролезающего между силовыми линиями (рис. 8.2.3), то второй член может быть сделан заведомо меньше отрицательного поверхностного интеграла. Следовательно, конфигурации с д/дп (Hq)\s < 0 неустойчивы, если граница плазма-поле достаточно тонка. Но если плазма и поле перемешаны, то, как мы видели в предыдущем параграфе, конфигурация может быть устойчивой. Поскольку магнитное поле вне плазмы безвихревое, то из (8.2.13) следует =^, (8.2.14) 432 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем где R — радиус кривизны силовой линии. При этом R > О, если центр кривизны находится на продолжении нормали и R < 0 в противном случае (рис. 8.2.4). ¦\7|Н| V\R Рис. 3.2.3. Плазменный "язык" внедряется в магнитное поле Z-пинча Рис. 8.2.4. Связь направления градиен- та напряженности вакуумного магнитного поля с кривизной силовых линий Естественно, возникает желание создать идеальную плазменную ловушку, в ко- торой плазма и поле разделены. Однако просто это сделать нельзя. А именно, если мы хотим сделать всюду нарастающее — при удалении от границы, поле, в силу критерия устойчивости (8.2.13) приходим к остроугольной граничной поверхности и, тем самым к галатеям. Подробнее об этом см. раздел 10.5. В заключение нужно сделать одно замечание. Критерий (8.2.13) получен для МГД статической конфигурации. А это означает, в частности, что функция распределения частиц, падающих на границу должно быть "полуизотропной". В противном случае, если мы имеем поток плазмы (ионов) с ионным числом Маха Mi > 1, равновесная граница раздела определяется условием 2povl+po = ^. (8.2.15) Но она может оказаться неустойчивой даже при условии (8.2.13). Это объясняется тем, что в набегающем плазменном потоке могут происходить "схлопывания" траекторий частиц, образуя "клинья", которые будут развивать дина- мическое давление Здесь ро и Ро — параметры при подлете к границе, а р\ и р\ — в клиньях (см. п. 3.8.3).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Анализ устойчивости МГД конфигураций энергетическим методом» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
