Ранее, производя линеаризацию, мы отбрасывали нелинейные члены, считая их малыми более высокого порядка. Однако это можно делать далеко не всегда. Нелинейные члены, несмотря на их малость, могут при- водить к раскачке до больших амплитуд как волны того же типа (простые волны Римана эволюционируют благодаря этому механизму в ударные), так и волны других типов. Ниже мы рассмотрим "слияние" двух продольных линейных ленгмюровских волн в поперечную электромагнитную волну. В основе способности малых нелинейных членов сильно влиять на волновые процессы лежит явление резонанса. Напомним суть дела. 426 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем В простейшем случае точечного осциллятора его поведение под действием гармо- нической силы описывается уравнением х + ijj\x = A sin cot (8.1.33а) Если со ф ujq, то колебания, спустя некоторое время после начала воздействия, выходят на стационарный уровень Asincot 2 2 х = -— г-; D = con—co . (8.1.336) D(u,uo) Отсюда видно, что амплитуда установившихся колебаний непрерывно возрастает по мере приближения со к coq. Если же со = coq, to установившихся колебаний вообще нет, поскольку теперь амплитуда непрерывно увеличивается At х = —-— cosujot. (8.1.33в) 2со0 Аналогичная картина имеет место и в случае, когда сплошная среда подвергается воздействию некого "бегущего возмущения", например, воздух возмущается летящим самолетом. Для формальной простоты будем считать возмущение гармоническим q = Asm(ut — kyl) = А\ ехр{—i(cot — хх)} + к.с. (8.1.34) Здесь А\ = A/2i, к.с. — комплексно сопряженное с предыдущим слагаемое. Пока- жем, как выглядит ситуация с резонансами в многомерных системах на примере наиболее интересных для нас волн в плазме, взяв за основу уравнение A.5.6в) АЕ - VdivE = —j + 4т^. (8.1.35а) с с1 otz Здесь j — сторонний ток-возмутитель. Взяв Е в виде (8.1.34) Е = Ео ехр{—iuot + ixx}, получаем систему алгебраических уравнений, обобщающую систему A.5.9) я2Ек - як{щЕе) - ^еиЕе = —jk. (8.1.356) С1 С Решение этой системы имеет вид Mfc(j,x,u;) Ьк = —— г—. (8.1.3b) Здесь Мк — "крамеровский" детерминант, a D{x,uj) — детерминант левой части системы (8.1.35) cz (8.1.37) где с\, ..., сдг — скорости собственных волн в среде — корни уравнения D(uj,x) = 0. Имея формулы (8.1.36) и (8.1.37), мы можем теперь повторить почти те же рассуждения, которые были сказаны в связи с формулами (8.1.33). А именно, если фазовая скорость возмущения Уф = ujjн приближается к скорости собственной волны среды, то амплитуда возрастает, а при Уф = с^ стационарного режима в линейном приближении по j вообще нет. 8.1. Гидродинамические и плазменные неустойчивости 427 Нас здесь будет интересовать простейший случай, когда резонансным фактором является в уравнении (8.1.35) является квадратичный — по отношению к линейному, член: ). (8.1.38) Здесь а — соответствует (uja,xa), a C соответственно (cvp,xp), а индекс " указы- вает, что это величины линейного приближения, то есть у } . . / (8.1.39а) В этом случае jB)~ exp {—i(uja + ujp)t — i(xa + нр)^) + аналоги = ехр {—iuo^t + гх7х} + аналоги. Под аналогами мы понимаем UJr\i —— UJп/ ~~г~ UJ R', —UJп/ ~~г~ UJr', UJn/ — UJи', —UJn/ — LUR (o.l.o9o) Очевидно, резонанс и, следовательно, перекачка энергии от линейных волн а и /3 к волне 7 будет в том случае, если при о;7, х7 детерминант L>(u;7,x7)=0. (8.1.39b) Наряду с процессами слияния двух волн в одну, естественно, может идти и обратный процесс "распада" одной волны на две G —> а + /3). Схематически это изображено на рис. 8.1.5. Очевидно, что могут идти процессы с участием большим, чем три, числом волн [198, 199]. Рассмотрим конкретный пример слияния двух продольных (ленгмюровских) волн в поперечную электромагнитную волну. Это весьма универсаль- ный процесс в различных плазмах. Он, в частно- сти, представляет значительный интерес для ди- агностики ленгмюровских колебаний бесконтакт- ным методом с помощью наружных антенн. Это объясняется тем, что продольные волны не излу- чаются. Однако благодаря слиянию двух продоль- ных волн возникает поперечная электромагнитная волна, которая выходит из плазменного объёма и несет информацию о ленгмюровских колебани- ях. В гидродинамическом приближении частоты волн равны а б Рис. 8.1.5. Схемы слияния двух волн в одну (а) и обратного про- цесса — распада волны (б) 2 2,22 Поэтому условия резонанса имеют вид (8.1.40а) (8.1.406) В уравнении (8.1.406) можно исключить о;7, используя связь и = с\ка + кр\ для электромагнитных волн + о = С (8.1.40в) 428 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем Таким образом мы получили одно уравнение для 6 неизвестных (ха,хр), считая uoq и ст заданными. К этому следует добавить, что обычно тепловая добавка в (8.1.40) мала по сравнению с ленгмюровской частотой и поэтому уравнение (8.1.40в) можно представить в виде с<Лу « 2иог)\ к^ = . (8.1.41) 7 и, 7 с v ; Но это еще не определяет в общем случае поперечную волну. Для этого должно быть выполнено условие поперечности: (Еа + Ер)(ха + хр) =0. (8.1.42) Учитывая продольность линейных волн, можем написать (8.1.43) где /3\ и /З2 — скаляры, пропорциональные амплитудам соответствующих волн. Они должны быть определены из условия (8.1.42). Подставляя (8.2.1) в (8.1.42), получаем уравнения для /3\ и /%: = 0 (8.1.44) Рис. 8.1.6. Слияние ленгмюровских волн и об- разование поперечной волны сохранения В простейшем случае, когда на и х$ перпендикулярны и по модулю равны, уравнение (8.1.44) приводится к просто- му соотношению А = -/%. Этому соответствует схема попереч- ной волны, изображенная на рис. 8.1.6. Условия слияния (8.1.40) приобрета- ют особенно прозрачный смысл, если их умножить на постоянную Планка h. Видно, что они эквивалентны законам е{+е2 = е3, pi+p = p3. (8.1.45) Здесь г = шЬ, р = хЬ — соответственно энергия и импульс "квазичастицы- плазмона". Квантовая аналогия широко используется в теории плазменных волн и плазмен- ной турбулентности. Заметим, что условия (8.1.45), которые называют часто условием слияния или распада волн, выполняются далеко не для всех типов плазменных волн.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Трансформация волн» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
