Рассматривая ленг- мюровские волны в модели Власова, мы столкнулись с кинематическим резонансом в пространстве скоростей uj-kv = 0. (8.1.18) Благодаря этому резонансу в зависимости от знака /$(уф), где Уф = и/х, происходит либо затухание, либо раскачка волн. При этом, поскольку электронная компонента предполагается в целом неподвижной, а Уф, как правило, много больше Уте условие (8.1.20) выполняется для малой части функции распределения /o(v) в пространстве скоростей. Совсем иная ситуация может сложиться в том случае, когда плазма находится в неоднородном движении. В этом случае условию (8.1.20) могут удовлетворять с приемлемой точностью большие пространственные области плазмы. Впервые теорию этого явления для плоского течения несжимаемой жидкости построил Рэлей в 1880 году, а в последние десятилетия XX века перенес ее на неод- нородные течения плазмы А. В. Тимофеев, назвав это явление "гидродинамическим резонансом" [197]. Перед тем как воспроизвести формально модель Релея, опишем сначала качественно ее суть. Для этого рассмотрим две парал- лельные пластины, расположенные на рас- стоянии h друг от друга (рис. 8.1.4), меж- ду которыми течет идеальная несжимаемая жидкость. Если в объёме скорость жид- кости постоянна, то распространяющихся волн здесь не существует. Однако, если невозмущенная скорость течения зависит от поперечной координаты У////////////////////////////////////// = щ(у), (8.1.19) Рис. 8.1.4. К понятию гидродинамического резонанса то в жидкости могут распространяться объёмные волны. Если в такой поток внести малое возмущение (например ), то могут быть в принципе два сценария: либо возмущение затухает, либо будет нарастать и выйдет на некоторый нелиней- ный уровень. Во втором случае оно будет, как показывает анализ, сосредоточено в окрестности ординаты у*, где находится максимум \дуо/ду\, т.е. д2Уо/ду2 = 0. В системе отсчета, где Уо(у*) = 0, частота нарастающей волны будет равна и (8.1.20) а фазовая скорость будет, как всегда, хуф(у*) = и/ х. Тогда, если в потоке имеется точка ys, где скорость Уо(у3) = Уф(у*), то волна в у* будет либо раскачиваться, либо гаситься. Это и есть гидродинамический резонанс. Итак, для раскачки возмущений необходимо два условия: - существование незатухающих волн; - наличие резонансной зоны потока. Нужно, однако, отметить, что вопрос о резонансном гашении волны менее изучен. А теперь коротко рассмотрим модель Рэлея. В основе модели лежит плоское течение несжимаемой идеальной жидкости между двумя параллельными стенками, причём в невозмущенном состоянии линии пото- ка — прямые. Однако скорость зависит от поперечной координаты у, т. е. vox =vo(y). (8.1.21) 424 Гл. 8. Неустойчивости и самоорганизация плазмодинамических систем Вопрос состоит в том, при каких зависимостях vo(y) течение устойчиво. Исходными являются два уравнения Эйлера divv = 0, -^ + (vV)v = -. ot р А возмущения предполагаются малыми v = vo(y) +v\(t,x,y), p = pQ+p\(t,x,v). (8.1.22a) Тогда г, у divvi =0, -^- + (v0V)vi + (viV)v0 = —. (8.1.226) Первому уравнению тождественно удовлетворим, вводя функцию потока ф: vix = ^; vly = -W (8.1.23) ду у дх Подставляя (8.1.23) в (8.1.226), получим д дф д дф , дф 1 др dt ду дх ду дх р0 дх _д_&ф_^ д_ /дф\ __J_dpi_ уол.м) dt дх дх \ дх J ро ду Дифференцируя первое из этих уравнений по у, а второе по х и вычитая одно из другого, приходим к искомому уравнению для ф — уравнению Рэлея. <di = °- (8Л-25а) Решение этого уравнения можно искать в виде ф = f(y) exp{-icot + гкх), (8.1.256) где к — произвольная постоянная, uj — величина, определяемая из условия регуляр- ности и граничных условий на твёрдых стенках {у = 0, у = h): /@) = f(h) = 0. (8.1.26) Подставляя (8.1.256) в (8.1.25а), получим обыкновенное уравнение второго порядка (ш - v0H)(f" - x2f) + v"oxf = 0. (8.1.27) Заметим, что требование регулярности решения существенно, поскольку уравнение (8.1.27) содержит особенность при координате у = ?/*, определяемой условием кинематического резонанса г>оЫ = -. (8-1.28) Чтобы справиться с особенностью, связанной с резонансом, надо ввести в (8.1.22а) малую вязкость, подобно тому, как при анализе ленгмюровских волн удобно ввести редкие столкновения. Уравнения типа A - a(y))Z"(y) + (а + P(y))Z(y) = 0 (8.1.29) аналитически решаются при многих а(х), C(х). Однако нас интересуют условия на vo(y) общего вида, при которых течение устойчиво, то есть и — вещественно. Для этого воспользуемся следующим искусственным приёмом. 8.1. Гидродинамические и плазменные неустойчивости 425 Умножим (8.1.27) на ф* и вычтем из полученного его комплексного сопряженное выражение. Получим u = ux+i"f (8.1.30) \ dy dyj (иi - kv^Y + Интегрируя (8.1.30) от стенки (у = 0) до стенки (у = К) и учитывая (8.1.26), получаем 0 J 1Л' J о Отсюда видно, что если нет точки перегиба, т.е. у^(у) всюду сохраняет знак, то 7 = (Imo;) =0, (8.1.32а) и течение устойчиво. Это и есть теорема Рэлея. Если же есть точка перегиба, то есть vo(y) — знакопеременная величина, то интеграл может обращаться в нуль, и тогда когда 7 = (Imo;) ^0, (8.1.326) т.е. течение может быть неустойчивым. Таким образом, необходимым, хотя и недо- статочным, условием неустойчивости течения с VQx(y) является наличие точки пере- гиба <Ы=0. (8.1.32в) Подчеркнем важность гидродинамических резонансов. Эти резонансы радикально воздействуют на устойчивость неоднородно движу- щегося потока, приводя, в частности, к генерации вихрей. Примером такого вихря, обязанного перегибу зависимости vo(y) является гигантское Большое Красное Пят- но Юпитера (см. раздел 9.1). Ниже в разделе 8.3 мы покажем, что формальным аналогом рассмотренных гидродинамических течений являются дрейфовые потоки в плазме. Учитывая аналогию между кинетической теорией ленгмюровских волн (раздел 4.4) и уравнением Рэлея, можно утверждать, что гидродинамические резо- нансы могут раскачивать, а могут и гасить колебания, в зависимости от конкрет- ных условий и, по-видимому, впервые стабилизирующее воздействие неоднородного движения на колебания плазмы наблюдалось еще в 60-х годах в экспериментах на открытых ловушках ОГРА-1 и "Алиса", где плазма искусственно приводилась в неод- нородное вращение.. .Похоже, что этот механизм подавления аномальных переносов наблюдается сейчас B004 г.) и на токамаках. Понятие гидродинамического резонанса позволяет выявить наиболее общие за- кономерности, определяющие колебательные свойства и устойчивость неоднородных течений произвольных "сплошных" сред.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гидродинамический резонанс Рэлея-Тимофеева» з дисципліни «Введення в плазмодінаміку»
